直感的理解

ボールは自由落下で床に衝突し、エネルギーの一部を失って跳ね返ります。衝突直前の速さは落下の高さから、直後の速さは跳ね返りの高さから求められます。

衝突直前の速さ：高さ $h_1$ から自由落下。エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh_1 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh_1}$$

衝突直後の速さ：高さ $h_2$ まで上昇。エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}mv'^2 = mgh_2 \quad \Rightarrow \quad v' = \sqrt{2gh_2}$$

答え：
$$v = \sqrt{2gh_1}, \quad v' = \sqrt{2gh_2}$$

Point

力学的エネルギー保存で速さと高さを相互変換。$\dfrac{1}{2}mv^2 = mgh$ より $v = \sqrt{2gh}$。

直感的理解

反発係数は「跳ね返りの速さ / 衝突前の速さ」。床は動かないので分母・分子が簡単になります。スライダーで $e$ を変えると、跳ね返り高さ $h_2 = e^2 h_1$ がどう変わるか確認できます。

立式：床（壁）との反発係数は（床は動かないので $v_{\text{壁}}' = v_{\text{壁}} = 0$）

$$e = \frac{v'}{v} = \frac{\sqrt{2gh_2}}{\sqrt{2gh_1}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$$

数値例：$h_1 = 1.6$ m、$h_2 = 0.90$ m のとき

$$e = \sqrt{\frac{0.90}{1.6}} = \sqrt{0.5625} = 0.75$$

答え：
$$e = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$$

補足：反発係数と高さの関係

$e^2 = h_2 / h_1$ なので、跳ね返り高さは

$$h_2 = e^2 h_1$$

$n$ 回バウンドした後の高さは $h_n = e^{2n} h_1$ と指数的に減少します。

Point

床との反発係数 $e = v'/v = \sqrt{h_2/h_1}$。高さの比の平方根が反発係数になります。

基本問題140 床との衝突