直感的理解

スライダーで反発係数 $e$ と質量比 $M/m$ を変えてみましょう。Bが重いほど、$e$ が大きいほど、Aは跳ね返りやすくなります。条件の境界がどこにあるか直感で掴んでください。

立式：右向きを正。Bは初め静止。

運動量保存：

$$mv_0 = mv_A' + Mv_B' \quad \cdots (1)$$

反発係数：

$$e = \frac{v_B' - v_A'}{v_0 - 0} \quad \Rightarrow \quad v_B' - v_A' = ev_0 \quad \cdots (2)$$

(2)より $v_B' = v_A' + ev_0$。(1)に代入：

$$mv_0 = mv_A' + M(v_A' + ev_0) = (m + M)v_A' + Mev_0$$ $$(m + M)v_A' = mv_0 - Mev_0 = (m - eM)v_0$$

答え：
$$v_A' = \frac{m - eM}{m + M} v_0, \quad v_B' = \frac{(1 + e)m}{m + M} v_0$$

Point

運動量保存 + 反発係数の連立解は公式として覚えておくと便利です。

直感的理解

図はパラメータ空間での「はねかえる領域」を示しています。曲線 $eM = m$ が境界で、その上側（$eM > m$）ではAが跳ね返ります。

条件：Aがはねかえるとは $v_A' < 0$ です。

$$v_A' = \frac{m - eM}{m + M} v_0 < 0$$

$m + M > 0$ かつ $v_0 > 0$ なので、$m - eM < 0$ が必要：

$$eM > m \quad \Rightarrow \quad e > \frac{m}{M}$$

答え：
$$e > \frac{m}{M}$$

反発係数 $e$ が $m/M$ より大きいとき、Aははねかえる。

補足：運動量保存則が成り立つ条件

外力の合力がゼロ（または衝突時間が極めて短く外力の力積が無視できる）のとき、系全体の運動量は保存されます。

Point

等質量 ($M = m$) なら $e > 1$ が必要ですが $e \leq 1$ なので、等質量ではAは止まるか前進する（はねかえらない）。$M > m$ なら $e < 1$ でもはねかえる可能性があります。

基本問題142 衝突後にはねかえる条件