設問(1)(2)　斜め衝突の解析

速度の分解：法線（垂直）方向と接線（平行）方向に分解します。入射角 $\theta$（法線からの角度）で速さ $v$ の小球が衝突するとき

衝突前：

$$v_x = v\sin\theta \text{（接線成分）}, \quad v_y = v\cos\theta \text{（法線成分）}$$

衝突後：（なめらかな床 → 接線成分不変）

$$v_x' = v\sin\theta, \quad v_y' = ev\cos\theta$$

はね返り後の速さ：

$$v' = \sqrt{v_x'^2 + v_y'^2} = \sqrt{v^2\sin^2\theta + e^2 v^2\cos^2\theta} = v\sqrt{\sin^2\theta + e^2\cos^2\theta}$$

はね返り角 $\theta'$：

$$\tan\theta' = \frac{v_x'}{v_y'} = \frac{v\sin\theta}{ev\cos\theta} = \frac{\tan\theta}{e}$$

補足：反発係数との関係

反発係数 $e$ の定義は：

$$e = -\frac{v_1^{\prime} - v_2^{\prime}}{v_1 - v_2}$$

完全弾性衝突（$e = 1$）では運動エネルギーも保存されます。

🧮 具体的な数値例

たとえば質量 \(m_1 = 2.0\) kg（速度 \(v_1 = 3.0\) m/s）と \(m_2 = 1.0\) kg（静止）の衝突（\(e = 0.5\)）：

$$\text{運動量保存：} 2.0 \times 3.0 = 2.0 v_1' + 1.0 v_2' \quad \cdots (1)$$ $$\text{反発係数：} 0.5 = \frac{v_2' - v_1'}{3.0 - 0} \quad \cdots (2)$$ $$(2) \text{より } v_2' - v_1' = 1.5 \text{、}(1)\text{と連立して } v_1' = 1.5 \text{ m/s},\; v_2' = 3.0 \text{ m/s}$$