基本例題31 平面上の運動量の保存

衝突後のBの速度の向きと大きさ

直感的理解
平面での衝突では、\(x\) 方向と \(y\) 方向の運動量がそれぞれ独立に保存されます。2つの方程式を連立することで、未知の速度成分が求まります。

設定：

衝突後のBの速度を \((v_x,\, v_y)\) とする。

$x$ 成分の運動量保存：

$$0.10 \times 6.0 + 0.20 \times 0 = 0.10 \times 2.0 + 0.20 \times v_{Bx}'$$ $$0.60 = 0.20 + 0.20 v_{Bx}'$$ $$v_{Bx}' = \frac{0.60 - 0.20}{0.20} = \frac{0.40}{0.20} = 2.0 \text{ m/s}$$

$y$ 成分の運動量保存：

$$0.10 \times 0 + 0.20 \times 4.0 = 0.10 \times 5.0 + 0.20 \times v_{By}'$$ $$0.80 = 0.50 + 0.20 v_{By}'$$ $$v_{By}' = \frac{0.80 - 0.50}{0.20} = \frac{0.30}{0.20} = 1.5 \text{ m/s}$$

Bの速さ：

$$v_B' = \sqrt{v_{Bx}'^2 + v_{By}'^2} = \sqrt{2.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.0 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ m/s}$$

Bの速度の向き：

$$\tan\theta = \frac{v_{By}'}{v_{Bx}'} = \frac{1.5}{2.0} = 0.75$$
答え：
Bの速さは \(2.5\) m/s、\(x\) 軸となす角 \(\theta\) は \(\tan\theta = 0.75\) の方向
補足：成分ごとの運動量保存の考え方

運動量保存則 \(\vec{p}_{\text{before}} = \vec{p}_{\text{after}}\) はベクトル方程式です。これを成分に分けると：

$$x: \sum m_i v_{ix} = \sum m_i v_{ix}'$$ $$y: \sum m_i v_{iy} = \sum m_i v_{iy}'$$

各成分が独立に保存されるため、2つの未知数まで求めることができます。

Point

平面上の運動量保存：互いに垂直な2方向（\(x\), \(y\)）について運動量保存の式を立てる。成分ごとに独立に保存される。