設問(1)　衝突後の速度

設定：Aの初速度の向きを正とします。

\(m_A = 2.0\) kg, \(v_A = +4.0\) m/s, \(m_B = 1.0\) kg, \(v_B = -6.0\) m/s, \(e = 0.50\)

運動量保存則：

$$m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A' + m_B v_B' \quad \Rightarrow \quad 2.0 \times 4.0 + 1.0 \times (-6.0) = 2.0\,v_A' + 1.0\,v_B'$$ $$2.0\,v_A' + v_B' = 2.0 \quad \cdots (1)$$

反発係数の式：

$$e = -\frac{v_A' - v_B'}{v_A - v_B} \quad \Rightarrow \quad 0.50 = -\frac{v_A' - v_B'}{4.0 - (-6.0)} \quad \Rightarrow \quad v_A' - v_B' = -5.0 \quad \cdots (2)$$

連立：(2)より \(v_A' = v_B' - 5.0\)。これを(1)に代入します：

$$2.0(v_B' - 5.0) + v_B' = 2.0 \quad \Rightarrow \quad 3.0\,v_B' - 10.0 = 2.0 \quad \Rightarrow \quad v_B' = 4.0 \text{ m/s}$$ $$v_A' = 4.0 - 5.0 = -1.0 \text{ m/s}$$

設問(2)　失われた力学的エネルギー

衝突前の運動エネルギー：

$$K_{\text{前}} = \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2 = \frac{1}{2}\times 2.0 \times 4.0^2 + \frac{1}{2}\times 1.0 \times 6.0^2 = 16 + 18 = 34 \text{ J}$$

衝突後の運動エネルギー：

$$K_{\text{後}} = \frac{1}{2}m_A v_A'^2 + \frac{1}{2}m_B v_B'^2 = \frac{1}{2}\times 2.0 \times 1.0^2 + \frac{1}{2}\times 1.0 \times 4.0^2 = 1.0 + 8.0 = 9.0 \text{ J}$$

失われた力学的エネルギー：

$$\Delta E = K_{\text{前}} - K_{\text{後}} = 34 - 9.0 = 25 \text{ J}$$

補足：反発係数とエネルギー損失の関係

\(e = 1\)（弾性衝突）のとき力学的エネルギーは保存されます。\(e\) が小さくなるほどエネルギー損失は大きく、\(e = 0\)（完全非弾性衝突）で損失が最大になります。

重心系で見ると、損失エネルギーは \(\Delta E = \frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2 (1 - e^2)\) で表されます（\(\mu\) は換算質量、\(v_{\text{rel}}\) は相対速度）。