ア・イ・ウ　円錐振り子の基本量

立式：

ア：張力 $S$ — 鉛直方向のつりあいより：

$$S\cos\theta = mg \quad \Rightarrow \quad S = \frac{mg}{\cos\theta}$$

イ：角速度 $\omega$ — 水平方向（向心方向）の運動方程式で $r = l\sin\theta$ として：

$$S\sin\theta = mr\omega^2 = ml\sin\theta \cdot \omega^2$$

$S = mg/\cos\theta$ を代入：

$$\frac{mg\sin\theta}{\cos\theta} = ml\sin\theta \cdot \omega^2 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{g}{l\cos\theta} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}$$

ウ：速さ $v$

$$v = r\omega = l\sin\theta \cdot \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}} = \sin\theta\sqrt{\frac{gl}{\cos\theta}}$$

数値例：$l = 0.80$ m、$m = 0.10$ kg、$\theta = 30°$、$g = 9.8$ m/s² のとき：

$$S = \frac{0.10 \times 9.8}{\cos 30°} = \frac{0.98}{0.866} = 1.13 \text{ N}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.80 \times 0.866}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.693}} = \sqrt{14.1} = 3.76 \text{ rad/s}$$ $$v = 0.80 \times \sin 30° \times 3.76 = 0.80 \times 0.50 \times 3.76 = 1.50 \text{ m/s}$$

エ・オ　水平投射

エ：落下時間

糸が切れた後、鉛直方向は自由落下なので：

$$h = \frac{1}{2}gt_0^2 \quad \Rightarrow \quad t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

オ：距離 $L$（B点からC点までの距離）

糸が切れた瞬間の速度 $v$ は円の接線方向（水平面内）です。点Aは点Oの真下の点Bから水平距離 $r = l\sin\theta$ の位置にあり、速度は半径方向と直角です。

点Bを原点として水平面を $x$-$y$ 座標で考えると、点Aの座標は $(r, 0) = (l\sin\theta, 0)$。速度 $v$ は接線方向なので $(0, v)$ です。

$t_0$ 秒後の水平位置は $(l\sin\theta,\; vt_0)$ となり、B点からの距離 $L$ は：

$$L = \sqrt{(l\sin\theta)^2 + (vt_0)^2}$$

$v = \sin\theta\sqrt{gl/\cos\theta}$、$t_0 = \sqrt{2h/g}$ を代入すると $vt_0 = \sin\theta\sqrt{2hl/\cos\theta}$ なので：

$$L = \sqrt{l^2\sin^2\theta + \sin^2\theta \cdot \frac{2hl}{\cos\theta}} = l\sin\theta\sqrt{1 + \frac{2h}{l\cos\theta}}$$

数値例：$l = 0.80$ m、$\theta = 30°$、$h = 1.20$ m のとき：

$$t_0 = \sqrt{\frac{2 \times 1.20}{9.8}} = \sqrt{0.245} = 0.495 \text{ s}$$ $$vt_0 = 1.50 \times 0.495 = 0.743 \text{ m}$$ $$L = \sqrt{(0.80 \times 0.50)^2 + 0.743^2} = \sqrt{0.16 + 0.552} = \sqrt{0.712} = 0.844 \text{ m}$$

補足：糸が切れた瞬間の速度方向

糸が切れた瞬間、小球の速度は円の接線方向（水平面内）です。これは回転半径方向（中心向き）とは直角です。

したがって、水平投射の初速度 \(v\) は水平面内で接線方向に向いており、点Oの真下の点Bからの距離を求めるには、接線方向の水平移動と半径 \(r\) の幾何学的関係を考慮する必要があります。