立式：ばねの長さは \(l + x\) なので、弾性力の大きさは \(k(l + x)\) ではなく \(kx\) です（自然長からの伸び分だけ）。
ただし注意：回転半径は \(r = (l + x)\sin\theta\) です。
回転する観測者から見たつりあい：
水平方向：弾性力の水平成分 = 遠心力
$$ kx\sin\theta = m(l + x)\sin\theta \cdot \omega^2 \quad \cdots (1) $$\(\sin\theta \neq 0\) で割ると：
$$ kx = m(l + x)\omega^2 \quad \cdots (1') $$鉛直方向：弾性力の鉛直成分 = 重力
$$ kx\cos\theta = mg \quad \cdots (2) $$ばねの弾性力は自然長からの伸び \(kx\)。回転半径は \(r = (l + x)\sin\theta\)。この2点が糸の円錐振り子との違い。
計算：式(2)より：
鉛直成分のつりあいからばねの伸びが決まる。\(\theta\) が大きいほど伸びが大きくなる。
計算：式(1')より \(\omega^2 = \dfrac{kx}{m(l+x)}\)、\(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) なので：
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m(l+x)}{kx}} $$\(x = \dfrac{mg}{k\cos\theta}\) を代入すると：
$$ l + x = l + \frac{mg}{k\cos\theta} = \frac{kl\cos\theta + mg}{k\cos\theta} $$ $$ \frac{m(l+x)}{kx} = \frac{m \cdot \dfrac{kl\cos\theta + mg}{k\cos\theta}}{k \cdot \dfrac{mg}{k\cos\theta}} = \frac{m(kl\cos\theta + mg)}{k \cdot mg} = \frac{kl\cos\theta + mg}{kg} $$したがって：
慣性系（地上）から見ると、ばねの弾性力の水平成分が向心力を担います：\(kx\sin\theta = m(l+x)\sin\theta \cdot \omega^2\)。遠心力の代わりに運動方程式を立てますが、結果は同じです。
ばねの円錐振り子では、水平方向の式から \(\omega\) を、\(T = 2\pi/\omega\) から周期を求める。\(x\) の式を代入して整理する。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
\(m = 0.50\) kg, ばね自然長 \(l_0 = 0.40\) m, ばね定数 \(k = 20\) N/m, \(\theta = 30°\), \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:
ばねの伸び \(x\): 水平方向 \(m r \omega^2 = k x \sin\theta\), 鉛直方向 \(k x \cos\theta = mg\):
$$kx = \frac{mg}{\cos\theta} = \frac{0.50 \times 9.8}{0.866} \fallingdotseq 5.66 \text{ N}$$ $$x = \frac{5.66}{20} \fallingdotseq 0.283 \text{ m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{g \tan\theta}{r}} = \sqrt{\frac{9.8 \times 0.577}{(l_0+x)\sin\theta}} \fallingdotseq 6.6 \text{ rad/s}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。