立式：初期位置（水平、糸の支点と同じ高さ）から最下点（高さ差 \(l\)）までのエネルギー保存：
$$ mgl = \frac{1}{2}mv_1^2 \quad \Rightarrow \quad v_1^2 = 2gl $$最下点（直前）での運動方程式（中心＝上向き、半径 \(l\)）：
$$ T_1 - mg = \frac{mv_1^2}{l} = \frac{m \cdot 2gl}{l} = 2mg $$ $$ \therefore \quad T_1 = 3mg $$最下点では張力が重力に打ち勝って上向きに向心力を提供する。\(T = mg + \dfrac{mv^2}{r}\) の形。
立式：最下点直後は、糸が釘Oに引っかかるため半径 \(l/2\) の円運動になります。速さ \(v\) は同じ（\(v^2 = 2gl\)）。
運動方程式（中心＝上向き、半径 \(l/2\)）：
$$ T_2 - mg = \frac{mv^2}{l/2} = \frac{2mv^2}{l} = \frac{2m \cdot 2gl}{l} = 4mg $$ $$ \therefore \quad T_2 = 5mg $$糸の有効長さが変わると、同じ速さでも向心力の大きさが変わる。半径が小さいほど大きな向心力が必要。
設問(3)：最下点から角度 \(\theta\) の位置（高さ \(\frac{l}{2}(1 - \cos\theta)\) 上昇）でのエネルギー保存：
$$ \frac{1}{2}mv_{\theta}^2 = \frac{1}{2}mv^2 - mg\frac{l}{2}(1 - \cos\theta) $$\(v^2 = 2gl\) を代入：
$$ v_{\theta}^2 = 2gl - gl(1 - \cos\theta) = gl(1 + \cos\theta) $$半径方向（O向き）の運動方程式（半径 \(l/2\)）：
$$ T - mg\cos\theta = \frac{mv_{\theta}^2}{l/2} = \frac{2m \cdot gl(1 + \cos\theta)}{l} = 2mg(1 + \cos\theta) $$ $$ T = mg\cos\theta + 2mg(1 + \cos\theta) = mg(2 + 3\cos\theta) $$設問(4)：\(\theta = 90°\) のとき \(\cos 90° = 0\) なので：
$$ T = mg(2 + 0) = 2mg $$釘が糸から受ける力 \(F\) は張力と等しく（作用・反作用）\(F = 2mg\)。
設問(5)：円軌道から放物線軌道に移る条件は \(T = 0\)（糸がたるむ）：
$$ mg(2 + 3\cos\theta_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos\theta_0 = -\frac{2}{3} $$\(\theta_0 = \arccos(-2/3) \fallingdotseq 131.8°\) で糸がたるみ、小球は接線方向に飛び出して放物運動に移ります。このとき速さは \(v_{\theta_0} = \sqrt{gl(1 + \cos\theta_0)} = \sqrt{gl/3}\) です。
糸がたるむ条件 \(T = 0\) から離脱角度が求まる。糸の有効長が変わる振り子では、エネルギー保存は全体で成り立つが、運動方程式の半径は区間ごとに変わることに注意。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
初期の糸の長さ \(l_1 = 1.0\) m で角速度 \(\omega_1 = 4.0\) rad/s, 引き上げて \(l_2 = 0.50\) m とする。角運動量保存:
$$m l_1^2 \omega_1 = m l_2^2 \omega_2$$ $$\omega_2 = \omega_1 \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^2 = 4.0 \times 4 = 16 \text{ rad/s}$$ $$v_2 = l_2 \omega_2 = 0.50 \times 16 = 8.0 \text{ m/s}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。