設問(1)　水平な円板上での条件

立式：水平な円板上で、中心から距離 \(a\) の位置にある物体。鉛直方向のつり合い \(N = mg\)。静止摩擦力 \(f\) が向心力を提供：

$$ f = ma\omega^2 $$

静止摩擦力の条件 \(f \leq \mu N = \mu mg\) より：

$$ ma\omega^2 \leq \mu mg \quad \Rightarrow \quad \omega^2 \leq \frac{\mu g}{a} \quad \Rightarrow \quad \omega \leq \sqrt{\frac{\mu g}{a}} $$

設問(2)　傾いた円板上での条件

立式：円板が鉛直線に対して \(\theta\) 傾いているとき、回転する観測者から見て物体にはたらく力は重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、遠心力 \(ma\omega^2\)（軸から外向き）、摩擦力 \(f\) です。

円板面に垂直な方向のつりあい：

$$ N = mg\cos\theta + ma\omega^2\sin\theta $$

円板面内の方向：遠心力の斜面成分と重力の斜面成分を摩擦力が支えます。最も厳しい条件（外向きにすべる場合）：

$$ f = ma\omega^2\cos\theta + mg\sin\theta $$

すべらない条件 \(f \leq \mu N\) より：

$$ ma\omega^2\cos\theta + mg\sin\theta \leq \mu(mg\cos\theta + ma\omega^2\sin\theta) $$ $$ a\omega^2(\cos\theta - \mu\sin\theta) \leq g(\mu\cos\theta - \sin\theta) $$ $$ \omega \leq \sqrt{\frac{g(\mu\cos\theta - \sin\theta)}{a(\cos\theta - \mu\sin\theta)}} $$

（ただし \(\mu\cos\theta > \sin\theta\)、つまり \(\tan\theta < \mu\) のとき。そうでなければ \(\omega = 0\) でもすべります。）

補足：\(\mu\sin\theta\) の項

問題の答えでは分母を \(a\cos\theta\) としていますが、これは \(\mu\sin\theta \ll \cos\theta\) の近似（\(\mu\) が小さい場合）です。正確な分母は \(a(\cos\theta - \mu\sin\theta)\) です。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(\mu = 0.30\), \(r = 0.20\) m, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする。静止摩擦が向心力を与える条件 \(m r \omega^2 \leq \mu m g\):

$$\omega_{\max}^2 = \frac{\mu g}{r} = \frac{0.30 \times 9.8}{0.20} = 14.7 \text{ rad}^2/\text{s}^2$$ $$\omega_{\max} = \sqrt{14.7} \fallingdotseq 3.83 \text{ rad/s}$$ $$v_{\max} = r\omega_{\max} = 0.20 \times 3.83 \fallingdotseq 0.77 \text{ m/s}$$