立式：点Sを基準として、点Qの高さは \(r + r\cos\theta = r(1 + \cos\theta)\) です。
エネルギー保存（P → Q）。P の高さ \(h\) から Q の高さ \(r(1 + \cos\theta)\) まで：
$$ mgh = \frac{1}{2}mv_Q^2 + mgr(1 + \cos\theta) $$ $$ v_Q^2 = 2g\bigl[h - r(1 + \cos\theta)\bigr] $$点Qでの運動方程式（中心O向き）：円筒内面なので抗力 \(N\) は中心向き（壁が外側から押す）。重力の中心向き成分は \(mg\cos\theta\) です：
$$ N + mg\cos\theta = \frac{mv_Q^2}{r} $$ $$ N = \frac{mv_Q^2}{r} - mg\cos\theta = \frac{m \cdot 2g[h - r(1+\cos\theta)]}{r} - mg\cos\theta $$ $$ N = mg\left(\frac{2h}{r} - 2 - 2\cos\theta - \cos\theta\right) $$整理すると：
円筒内面での抗力は「エネルギー保存 + 円運動の運動方程式」で求める。高さの基準を明確にすること。
立式：点T（頂点）では \(\theta = 0\) なので設問(1)の結果に代入：
$$ N_T = mg\left(\frac{2h}{r} - 2 - 3\cos 0\right) = mg\left(\frac{2h}{r} - 5\right) $$通過条件 \(N_T \geq 0\)：
$$ \frac{2h}{r} - 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad h \geq \frac{5}{2}r $$円筒内面の頂点通過条件は \(h \geq \frac{5}{2}r\)。外面（凸面）上の運動とは異なる。
計算：\(h = 2r\) のとき、設問(1)の結果に代入すると：
$$ N = mg\left(\frac{2 \cdot 2r}{r} - 2 - 3\cos\theta\right) = mg(2 - 3\cos\theta) $$\(N = 0\) となる点Eでは \(\cos\theta_E = \frac{2}{3}\)（\(\theta_E = \arccos\frac{2}{3}\)）。点Eの高さは：
$$ h_E = r(1 + \cos\theta_E) = r\left(1 + \frac{2}{3}\right) = \frac{5r}{3} $$点Eでの速さは：
$$ v_E^2 = 2g\left[2r - \frac{5r}{3}\right] = \frac{2gr}{3} $$点Eでの速度は円の接線方向で、鉛直とのなす角が \(\theta_E\) です。鉛直成分は \(v_y = v_E \sin\theta_E\)。\(\sin^2\theta_E = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\) より：
$$ \Delta h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{v_E^2 \sin^2\theta_E}{2g} = \frac{\frac{2gr}{3} \cdot \frac{5}{9}}{2g} = \frac{5r}{27} $$したがって、Sからの最高点の高さは：
$$ H = \frac{5r}{3} + \frac{5r}{27} = \frac{45r + 5r}{27} = \frac{50r}{27} $$エネルギー保存で最高点を求める。面から離れるかどうかは \(N = 0\) の条件を確認。離脱後は放物運動。
計算結果の単位が正しいか確認する習慣をつけましょう。速度なら [m/s]、加速度なら [m/s²] になるはずです。数式の両辺で単位が一致するか（次元解析）を確認すると、立式ミスを防げます。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
半径 \(r = 0.50\) m, 初速 \(v_0 = 5.0\) m/s, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする。エネルギー保存で最高点までの高さ \(h\):
$$\frac{1}{2}m v_0^2 = mgh \;\Rightarrow\; h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{25}{19.6} \fallingdotseq 1.28 \text{ m}$$\(h < 2r = 1.0\) m の場合はループを1周せず途中で離れる。角度 \(\theta\) の地点の速さ:
$$v^2 = v_0^2 - 2gr(1 - \cos\theta) = 25 - 2 \times 9.8 \times 0.50(1-\cos\theta)$$ $$v^2 = 25 - 9.8(1 - \cos\theta) \text{ m}^2/\text{s}^2$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。