直感的理解

等速円運動では物体は一定の速さで円軌道上を回ります。角速度 $\omega$ は1秒あたりの回転角 [rad/s]、周期 $T$ は1周にかかる時間、速さ $v = r\omega$、向心加速度 $a = r\omega^2$ です。半径と角速度がわかれば全ての量が求まります。

設定：質量 $m$ の物体が半径 $r$ の円周上を角速度 $\omega$ [rad/s] で等速円運動する。

1周は $2\pi$ rad なので：

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} $$

円周上を動く速さは、半径 $\times$ 角速度で求まります：

$$ v = r\omega $$

向心加速度は次の式で表されます：

$$ a = r\omega^2 = \frac{v^2}{r} $$

向きは円の中心に向かう向き（向心方向）。

具体的な計算：質量 $m = 0.10$ kg、半径 $r = 0.20$ m、周期 $T = 0.50$ s のとき：

まず角速度を求めます：

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.50} = 4\pi \fallingdotseq 12.6 \text{ rad/s} $$

速さ：

$$ v = r\omega = 0.20 \times 4\pi = 0.80\pi \fallingdotseq 2.5 \text{ m/s} $$

向心加速度：

$$ a = r\omega^2 = 0.20 \times (4\pi)^2 = 0.20 \times 16\pi^2 \fallingdotseq 32 \text{ m/s}^2 $$

向心力（参考）：

$$ F = ma = 0.10 \times 32 = 3.2 \text{ N} $$

答え：
(1) $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$

(2) $v = r\omega$

(3) 大きさ $a = r\omega^2$、向きは円の中心に向かう向き

補足：遠心力と向心力の関係

慣性系では向心力 $F = m\omega^2 r$ が物体を円の中心に引きます。回転系では見かけ上、遠心力 $F_{\text{遠心}} = m\omega^2 r$ が外向きに作用して力がつりあって見えます。

Point

等速円運動の3公式：$v = r\omega$、$a = r\omega^2 = \dfrac{v^2}{r}$、$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$。角速度 $\omega$・半径 $r$ から速さ・加速度・周期すべてが導出できる。

基本問題151 等速円運動