等速円運動に必要な向心力の方向

直感的理解

等速円運動には常に「中心向きの力」が必要です。これが向心力で、その正体は場面によって異なります。糸の張力、摩擦力、万有引力など、具体的な力が向心力の役割を果たします。

各場合について、等速円運動に必要な向心力がどのような力か答えます。

(1) なめらかな水平面上で、糸に結びつけた小球の等速円運動

向心力 = 糸の張力

(2) 糸に吊るした小球の水平面内の等速円運動（円錐振り子）

向心力 = 糸の張力の水平成分（張力と重力の合力）

(3) カーブを曲がる車

向心力 = 静止摩擦力（タイヤと路面の間の摩擦力）

(4) 地球のまわりを回る人工衛星の等速円運動

向心力 = 万有引力（地球が衛星に及ぼす引力）

(5) 水平面上で壁に沿って回る物体

向心力 = 垂直抗力（壁が物体を押す力）

向心力の大きさの一般式：

$$ F = m\omega^2 r = m\frac{v^2}{r} $$

向心力の正体が何であれ、大きさはこの式で表されます。例えば (1) の糸の場合：

$$ \text{糸の張力} = m\omega^2 r $$

(3) のカーブの場合：

$$ \text{静止摩擦力} = \frac{mv^2}{r} $$

答え：
(1) 糸の張力
(2) 糸の張力の水平成分
(3) 静止摩擦力
(4) 万有引力
(5) 垂直抗力

補足：遠心力と向心力の関係

慣性系では向心力 $F = m\omega^2 r$ が物体を円の中心に引きます。回転系では見かけ上、遠心力 $F_{\text{遠心}} = m\omega^2 r$ が外向きに作用して力がつりあって見えます。

Point

向心力は「新しい力」ではない。張力・摩擦力・万有引力・垂直抗力など、実在の力の合力が中心方向を向いているとき、それを「向心力」と呼ぶ。向心力の正体を見抜くことが円運動の問題を解く第一歩。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

$m = 0.20$ kg, $r = 0.50$ m, $T = 1.0$ s とする:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \fallingdotseq 6.28 \text{ rad/s}$$ $$v = r\omega = 0.50 \times 6.28 = 3.14 \text{ m/s}$$ $$F = mr\omega^2 = 0.20 \times 0.50 \times 6.28^2 \fallingdotseq 3.94 \text{ N}$$