基本問題154 等速円運動

水平面上での糸付き小球の等速円運動

直感的理解
なめらかな水平面上で糸をつけた小球を回すと、糸の張力が向心力の役割を果たします。糸が物体を中心に引っ張り続けることで円運動が維持されます。角速度を上げると張力は \(\omega^2\) に比例して急増します。

設定：なめらかな水平面上の点Oに、半径 \(r\) [m] の糸で質量 \(m\) [kg] の小球を結び、角速度 \(\omega\) [rad/s] で等速円運動させる。

(1) 速さ \(v\)

円運動の速さは半径 \(\times\) 角速度で求まります：

$$ v = r\omega $$

(2) 周期 \(T\)

1周（\(2\pi\) rad）を角速度 \(\omega\) で回るので：

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} $$

(3) 糸の張力（向心力）\(F\)

なめらかな水平面上では、糸の張力のみが向心力を担います。運動方程式（円の中心向きを正）：

$$ F = mr\omega^2 $$

\(v = r\omega\) を使うと \(F = \dfrac{mv^2}{r}\) とも書けます。

答え：
(1) \(v = r\omega\)

(2) \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)

(3) \(F = mr\omega^2\)
補足：速さ \(v\) を用いた表現
$$F = \frac{mv^2}{r} = \frac{m(r\omega)^2}{r} = mr\omega^2$$ どちらの形でも同じ結果になります。
Point

水平面上の等速円運動では、向心力 = 糸の張力。運動方程式は中心向きを正にとり \(F = mr\omega^2 = \dfrac{mv^2}{r}\) と立てる。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(m = 0.50\) kg, \(r = 1.0\) m, \(v = 4.0\) m/s とする:

$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{4.0}{1.0} = 4.0 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{4.0} \fallingdotseq 1.57 \text{ s}$$ $$F = \frac{mv^2}{r} = \frac{0.50 \times 16}{1.0} = 8.0 \text{ N}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。