円錐容器内側の等速円運動

設定：なめらかな円錐容器（半頂角 \(\alpha\)）の内側で、質量 \(m\) の小球が水平面内で等速円運動する。重力加速度を \(g\) とする。

(1) 垂直抗力の大きさ

物体にはたらく力は、重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直、中心軸から外向き）の2つ。

鉛直方向のつり合い：

$$ N\cos\alpha = mg \quad \Rightarrow \quad N = \frac{mg}{\cos\alpha} $$

(2) 向心力の大きさ

水平方向（中心向きを正）の運動方程式：

$$ N\sin\alpha = \frac{mv^2}{r} $$

\(N = mg/\cos\alpha\) を代入すると：

$$ \frac{mg\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad \text{向心力} = mg\tan\alpha $$

(3) 円運動の速さを2倍にしたとき、周期は何倍か

向心力 \(mg\tan\alpha\) は速さに依存しません。速さ \(v\) を変えると物体は異なる高さ（異なる半径 \(r\)）で円運動します。

円運動の半径を \(r\) とすると：

$$ mg\tan\alpha = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{v^2}{g\tan\alpha} $$

周期は：

$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi v}{g\tan\alpha} $$

\(T \propto v\) なので、速さを2倍にすると \(T\) も2倍になります。

補足：回転系で見ると

回転系では遠心力 \(m\omega^2 r\) が外向きに加わり、垂直抗力の水平成分 \(N\sin\alpha = mg\tan\alpha\) とつり合います。結果は慣性系と同じです。