エレベーター内の慣性力

設定：エレベーターの床に台ばかりを置き、質量 \(m\) の人が乗っている。エレベーターが静止している場合と、上向きに加速度 \(a\) で加速する場合を考える。重力加速度 \(g\)。

(1) はかりの示す値（エレベーター静止時）

静止時は \(N = mg\) なので台ばかりの読みは \(mg\)。

(2) はかりの示す値（上向き加速度 \(a\)）

地上（慣性系）から見た運動方程式（上向きを正）：

$$ ma = N - mg $$

垂直抗力 \(N\) について解くと：

$$ N = mg + ma = m(g + a) $$

はかりの読みは垂直抗力 \(N\) に等しいので、\(m(g+a)\) となり、静止時より大きくなります。

別解：エレベーター内（非慣性系）から見る方法

エレベーター内から見ると物体は静止。下向きに慣性力 \(ma\) が加わる：

$$N = mg + ma = m(g + a)$$

(3) エレベーターがどのような運動をするか

下向き加速度 \(a\) で動く場合（下降加速 or 上昇減速）の運動方程式（上向きを正）：

$$ m(-a) = N - mg \quad \Rightarrow \quad N = m(g - a) $$

はかりの読みは \(m(g-a)\) となり、静止時より小さくなるため体が軽く感じられます。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

電車の加速度 \(a = 3.0\) m/s\(^2\) (進行方向), \(m = 2.0\) kg, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:

$$F_{in} = ma = 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ N (後ろ向き)}$$ $$\tan\theta = \frac{a}{g} = \frac{3.0}{9.8} \fallingdotseq 0.306$$ $$\theta \fallingdotseq 17.0°$$