リフト内の糸でつるした小球

設定：リフトの中に質量 \(m_0\) の小球を天井から軽い糸でつるす。重力加速度 \(g\)。リフトが上向きに加速度 \(a\) で加速する。

(1) 糸を引く力の大きさ \(S\)

小球の運動方程式（上向きを正）：

$$ m_0 a = S - m_0 g $$

張力 \(S\) について解くと：

$$ S = m_0(g + a) $$

(2) 糸が突然切れたら

糸が切れると張力 \(S = 0\)。小球には重力のみが働き、自由落下します（地上から見て加速度 \(g\) で落下）。

リフトの床から小球までの高さを \(h\) とすると、リフトは上向きに加速度 \(a\) で加速し、小球は加速度 \(g\) で下降するので、リフト内の観測者から見た相対加速度は \(g + a\)（下向き）です：

$$ h = \frac{1}{2}(g + a)t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g + a}} $$

この時間で小球はリフトの床に達します。

補足：非慣性系での見方

リフト内（非慣性系）から見ると、小球には重力 \(m_0 g\)（下向き）、張力 \(S\)（上向き）、慣性力 \(m_0 a\)（下向き = 加速と逆向き）が働き、つり合っています：

$$ S = m_0 g + m_0 a = m_0(g + a) $$

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

エレベータの加速度 \(a = 1.5\) m/s\(^2\) (下向き), \(m = 3.0\) kg, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:

$$F_{in} = ma = 3.0 \times 1.5 = 4.5 \text{ N (上向き)}$$ $$N = m(g - a) = 3.0 \times (9.8 - 1.5) = 24.9 \text{ N}$$ $$W_{見かけ} = N = 24.9 \text{ N}$$