基本問題160 慣性力

等加速度直線運動する電車内での慣性力

直感的理解
加速する電車内で天井から糸で小球をつるすと、糸は加速方向と反対に傾きます。電車内の観測者から見ると、慣性力 \(ma\) が加速と逆向きに働き、小球は静止しています。糸の傾き角 \(\theta\) は \(\tan\theta = a/g\) で決まります。

設定：電車が水平方向に等加速度 \(a\) で加速。天井から軽い糸で質量 \(m\) の小球をつるす。糸が鉛直方向となす角を \(\theta\) とする。重力加速度 \(g\)。

(1) 糸の傾き角 \(\theta\)

電車内（非慣性系）から見ると、小球は静止。加速と逆向きに慣性力 \(ma\) が働く。

水平方向のつり合い：

$$ T\sin\theta = ma \quad \cdots (1) $$

鉛直方向のつり合い：

$$ T\cos\theta = mg \quad \cdots (2) $$

式(1) \(\div\) 式(2) より：

$$ \tan\theta = \frac{a}{g} $$

(2) 糸の張力 \(T\)

式(1)と式(2)の両辺を2乗して足すと：

$$ T^2\sin^2\theta + T^2\cos^2\theta = (ma)^2 + (mg)^2 $$ $$ T^2 = m^2(a^2 + g^2) \quad \Rightarrow \quad T = m\sqrt{a^2 + g^2} $$
答え：
(1) \(\tan\theta = \dfrac{a}{g}\) を満たす角 \(\theta\)

(2) \(T = m\sqrt{a^2 + g^2}\)
別解：慣性系（地上）から見る方法

地上から見ると小球は電車と同じ加速度 \(a\) で水平に加速運動。

水平：\(T\sin\theta = ma\)　鉛直：\(T\cos\theta = mg\)

結果は同じ：\(\tan\theta = a/g\)、\(T = m\sqrt{a^2 + g^2}\)。

Point

加速する電車内の振り子：\(\tan\theta = a/g\)、\(T = m\sqrt{a^2 + g^2}\)。慣性系でも非慣性系でも同じ答えが得られる。どちらの立場で解くか明確にしてから立式すること。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

車の加速度 \(a = 2.5\) m/s\(^2\), 振り子 \(m = 0.10\) kg, 糸長 \(l = 1.0\) m, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:

$$\tan\theta = \frac{a}{g} = \frac{2.5}{9.8} \fallingdotseq 0.255$$ $$\theta \fallingdotseq 14.3°$$ $$T = m\sqrt{a^2 + g^2} = 0.10 \times \sqrt{6.25 + 96.04} \fallingdotseq 1.01 \text{ N}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。