斜面上の小物体と加速する台

設定：水平な床上に傾角 \(\theta\) のなめらかな斜面をもつ台がある。台の上に質量 \(m\) の小物体を置き、台を水平方向に加速度 \(a\) で加速させる。小物体が斜面上で静止して上昇する条件を求める。

斜面の加速度 \(a\) を求める

台と一緒に動く観測者（非慣性系）から見ると、小物体には重力 \(mg\)（下向き）、垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直）、慣性力 \(ma\)（水平左向き）の3力が働く。

斜面に沿った方向（斜面上向きを正）のつり合い：

$$ ma\cos\theta - mg\sin\theta = 0 $$ $$ \therefore \quad a = g\tan\theta $$

斜面に垂直な方向のつり合い：

$$ N = mg\cos\theta + ma\sin\theta = mg\cos\theta + mg\tan\theta \cdot \sin\theta = \frac{mg}{\cos\theta} $$

加速度を2倍にしたとき

加速度を \(2a = 2g\tan\theta\) にすると、斜面に沿った力のつり合い式は：

$$ m \cdot 2a \cdot \cos\theta - mg\sin\theta = 2mg\sin\theta - mg\sin\theta = mg\sin\theta > 0 $$

斜面上向きに正味の力が生じるので、小物体は斜面を上昇します。

補足：慣性系から見た解法

地上（慣性系）から見ると、小物体は台と同じ加速度 \(a\) で水平に加速します。

斜面に沿った方向：\(ma\cos\theta - mg\sin\theta = 0\)

斜面に垂直方向：\(N - mg\cos\theta - ma\sin\theta = 0\)

結果は非慣性系と同じ：\(a = g\tan\theta\)、\(N = mg/\cos\theta\)。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

加速度 \(a = 4.0\) m/s\(^2\), 物体 \(m = 1.0\) kg, 動摩擦係数 \(\mu = 0.20\), \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:

$$F_{in} = ma = 1.0 \times 4.0 = 4.0 \text{ N}$$ $$f_{\max} = \mu mg = 0.20 \times 1.0 \times 9.8 = 1.96 \text{ N}$$ $$a_{rel} = a - \mu g = 4.0 - 1.96 = 2.04 \text{ m/s}^2$$