円錐振り子の力と周期

設定：長さ \(l\) の糸の上端を固定し、下端に質量 \(m\) の小球をつけて水平面内で等速円運動させる。糸と鉛直方向のなす角を \(\theta\)、重力加速度を \(g\) とする。

(1) 張力 \(S\) の大きさ

鉛直方向のつり合い：

$$ S\cos\theta = mg \quad \Rightarrow \quad S = \frac{mg}{\cos\theta} $$

(2) 周期 \(T\)

円運動の半径は \(r = l\sin\theta\)。水平方向の運動方程式（中心向きを正）：

$$ S\sin\theta = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2 = ml\sin\theta \cdot \omega^2 $$

\(S = mg/\cos\theta\) を代入し、\(\sin\theta \neq 0\) で割ると：

$$ \frac{mg}{\cos\theta} = ml\omega^2 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{g}{l\cos\theta} $$

周期 \(T = 2\pi/\omega\) より：

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}} $$

補足：周期と角度の関係

\(\theta\) が大きくなると \(\cos\theta\) が小さくなるので周期 \(T\) は短くなります。つまり糸が大きく開くほど速く回ります。また、\(\theta \to 0\) のとき \(T \to 2\pi\sqrt{l/g}\) となり、これは単振り子の周期と一致します。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(l = 0.80\) m, \(\theta = 30°\), \(g = 9.8\) m/s\(^2\), \(m = 0.10\) kg とする:

$$r = l\sin\theta = 0.80 \times 0.50 = 0.40 \text{ m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.80 \times 0.866}} \fallingdotseq 3.76 \text{ rad/s}$$ $$T_s = m g/\cos\theta = \frac{0.10 \times 9.8}{0.866} \fallingdotseq 1.13 \text{ N}$$