設定：なめらかな円錐面（水平面CD上、頂点の半頂角 \(\theta\)）の上に、長さ \(l\) の軽い棒で結ばれた質量 \(m\) の小球が水平面内で等速円運動する。棒の上端はF点に固定。重力加速度 \(g\)。
小球にはたらく力：重力 \(mg\)（下向き）、垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直、斜面から離れる向き）、棒の力 \(R\)（棒に沿う）。
小球がCD面を浮き上がらずに回るには \(N \geq 0\)。
円運動の半径は \(r = l\sin\theta\)。小球には重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、棒の力 \(R\) が働きます。
鉛直方向のつり合い：
$$ R\cos\theta + N\sin\theta = mg \quad \cdots (1) $$水平方向（中心向き）の運動方程式：
$$ R\sin\theta - N\cos\theta = ml\sin\theta \cdot \omega^2 \quad \cdots (2) $$CD面上を回る臨界条件（\(N = 0\) の場合）では、式(1)より：
$$ R\cos\theta = mg \quad \Rightarrow \quad R = \frac{mg}{\cos\theta} $$式(2)に代入して \(\sin\theta\) で割ると：
$$ \frac{mg}{\cos\theta} = ml\omega^2 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}} $$\(\omega > \sqrt{g/(l\cos\theta)}\) のとき \(N > 0\) となり、小球は斜面に押し付けられます。\(\omega < \sqrt{g/(l\cos\theta)}\) のとき、小球は面から浮き上がろうとし、棒が引く力で支えます。
円錐面上の円運動：垂直抗力が0になる臨界条件を調べることで、物体が面から離れる/離れないの判定ができる。力の分解は「鉛直＋水平」が基本。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
円錐容器の開き角 \(\theta = 60°\), 半径 \(r = 0.30\) m, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:
$$v = \sqrt{g r \tan\theta} = \sqrt{9.8 \times 0.30 \times 1.732} \fallingdotseq 2.26 \text{ m/s}$$ $$\omega = \frac{v}{r} = \frac{2.26}{0.30} \fallingdotseq 7.52 \text{ rad/s}$$ $$T_{period} = \frac{2\pi}{\omega} \fallingdotseq 0.84 \text{ s}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。