円錐容器の側面での等速円運動と張力

設定：長さ \(l\) の糸の一端を固定し、他端に質量 \(m\) の小球をつけた振り子。鉛直方向と角度 \(\theta_0\) の位置から静かに放す。重力加速度 \(g\)。

(1) 角度 \(\theta\) の位置での速さ \(v\)

最下点を基準に、角度 \(\theta_0\) の位置から放したときの高さの降下量は \(l(\cos\theta - \cos\theta_0)\)。エネルギー保存より：

$$ \frac{1}{2}mv^2 = mgl(\cos\theta - \cos\theta_0) $$ $$ v^2 = 2gl(\cos\theta - \cos\theta_0) $$ $$ \therefore \quad v = \sqrt{2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)} $$

(2) 角度 \(\theta\) の位置での張力 \(T\)

糸の方向（中心向き）の運動方程式：

$$ T - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{l} $$

上の \(v^2\) を代入すると：

$$ T = mg\cos\theta + \frac{m \cdot 2gl(\cos\theta - \cos\theta_0)}{l} $$ $$ T = mg\cos\theta + 2mg(\cos\theta - \cos\theta_0) = mg(3\cos\theta - 2\cos\theta_0) $$

(3) 最下点（\(\theta = 0\)）での張力

\(\theta = 0\) を代入すると \(\cos 0 = 1\) なので：

$$ T = mg(3 - 2\cos\theta_0) $$

補足：最高点での張力

最高点 \(\theta = \theta_0\) では \(v = 0\) なので：

$$T = mg\cos\theta_0$$

これは重力の糸方向成分だけで、向心力に使う分はゼロです（速度ゼロなので当然）。

🧮 具体的な数値例

たとえば質量 \(m = 3.0\) kg の物体に \(F = 6.0\) N の力を加えた場合：

$$a = \frac{F}{m} = \frac{6.0}{3.0} = 2.0 \text{ m/s}^2$$ $$t = 5.0 \text{ s 後の速度：} v = at = 2.0 \times 5.0 = 10 \text{ m/s}$$