設定：長さ \(l\) の糸（または棒）の一端を固定し、他端に質量 \(m\) の小球をつける。最下点で速さ \(v_0\) を与え、鉛直面内で円運動させる。重力加速度 \(g\)。
最下点では中心（上向き）方向の運動方程式：
$$ T_0 - mg = \frac{mv_0^2}{l} \quad \Rightarrow \quad T_0 = mg + \frac{mv_0^2}{l} $$エネルギー保存（最下点→最上点、高さ差 \(2l\)）：
$$ \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_t^2 + mg \cdot 2l $$ $$ v_t^2 = v_0^2 - 4gl \quad \Rightarrow \quad v_t = \sqrt{v_0^2 - 4gl} $$最上点では mg と T の両方が中心（下向き）を向く：
$$ T_t + mg = \frac{mv_t^2}{l} \quad \Rightarrow \quad T_t = \frac{mv_t^2}{l} - mg = \frac{mv_0^2}{l} - 5mg $$一周する条件は \(T_t \geq 0\) より：
$$ \frac{mv_0^2}{l} - 5mg \geq 0 \quad \Rightarrow \quad v_0^2 \geq 5gl \quad \Rightarrow \quad v_0 \geq \sqrt{5gl} $$糸ではなく棒（剛体）の場合、棒は圧縮力も受けられるので \(T < 0\) でもよい。最上点で \(v_t = 0\) が許されるため：
$$v_0^2 \geq 4gl \quad \therefore v_0 \geq \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$$鉛直面内の円運動の頻出公式：最下点 \(T = mg + mv^2/l\)、最上点 \(T = mv^2/l - mg\)。糸の場合の一周条件は \(v_0 \geq \sqrt{5gl}\)。「エネルギー保存 + 向心方向の運動方程式」のセットで解く。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
半径 \(r = 0.50\) m, 最低点速度 \(v_0 = 5.0\) m/s, \(m = 0.20\) kg, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする。最高点の速さ:
$$v_{top}^2 = v_0^2 - 4gr = 25 - 4\times 9.8 \times 0.50 = 5.4 \text{ m}^2/\text{s}^2$$ $$v_{top} \fallingdotseq 2.32 \text{ m/s}$$ $$T_{top} = \frac{m v_{top}^2}{r} - mg = \frac{0.20 \times 5.4}{0.50} - 0.20\times 9.8 \fallingdotseq 0.20 \text{ N}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。