直感的理解

ジェットコースターのループのように、鉛直面内の円形レール上を小球が動きます。最上点ではレールからの垂直抗力 $N$ と重力 $mg$ の両方が中心（下向き）を向き、その合力が向心力になります。最上点を通過できる条件は $N \geq 0$ から決まります。

設定：半径 $R$ の鉛直面内の円形ループの中を質量 $m$ の小球が通過する。最上点Bでの速さを $v_B$、最下点Aでの速さを $v_A$ とする。重力加速度 $g$。

最上点では mg と $N_B$ の両方が中心（下向き）方向を向くので：

$$ mg + N_B = \frac{mv_B^2}{R} \quad \Rightarrow \quad N_B = \frac{mv_B^2}{R} - mg $$

$N_B \geq 0$ より：

$$ \frac{mv_B^2}{R} - mg \geq 0 \quad \Rightarrow \quad v_B^2 \geq gR \quad \Rightarrow \quad v_B \geq \sqrt{gR} $$

エネルギー保存（最下点A → 最上点B、高さ差 $2R$）：

$$ \frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg \cdot 2R $$ $$ v_A^2 = v_B^2 + 4gR $$

最上点を通過する条件 $v_B^2 \geq gR$ を用いると：

$$ v_A^2 \geq gR + 4gR = 5gR \quad \Rightarrow \quad v_A \geq \sqrt{5gR} $$

最下点では $N_A$ が上向き（中心向き）、mg が下向きなので：

$$ N_A - mg = \frac{mv_A^2}{R} \quad \Rightarrow \quad N_A = mg + \frac{mv_A^2}{R} $$

答え：
(1) $N_B = \dfrac{mv_B^2}{R} - mg$

(2) $v_B \geq \sqrt{gR}$

(3) $v_A \geq \sqrt{5gR}$

(4) $N_A = mg + \dfrac{mv_A^2}{R}$

補足：向心加速度の導出

等速円運動の加速度は常に中心を向き、大きさは $a = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$ です。速度の大きさは変わりませんが、方向が変わり続けるため加速度が存在します。

Point

鉛直ループの円運動：最上点 $N = mv^2/R - mg$、最下点 $N = mv^2/R + mg$。最上点で $N = 0$ となる臨界条件は $v = \sqrt{gR}$。エネルギー保存と組み合わせて最下点の条件 $v_A \geq \sqrt{5gR}$ を導く。

基本問題167 鉛直面内の円運動