半球面上からすべり落ちる小球

設定：半径 \(R\) のなめらかな半球面の頂上に質量 \(m\) の小球を置き、わずかな初速で滑らせる。小球が面から離れる位置を求める。頂上からの角度を \(\theta\)、重力加速度を \(g\) とする。

(1) 角度 \(\theta\) での速さ \(v\)

頂上からの高さの降下量は \(R(1 - \cos\theta)\)。エネルギー保存（初速ほぼ0）：

$$ \frac{1}{2}mv^2 = mgR(1 - \cos\theta) $$ $$ v^2 = 2gR(1 - \cos\theta) $$

(2) 向心方向の運動方程式

半径方向（中心向きを正）：重力の中心向き成分 \(mg\cos\theta\) が向心力を担い、垂直抗力 \(N\) は外向き：

$$ mg\cos\theta - N = \frac{mv^2}{R} $$ $$ N = mg\cos\theta - \frac{mv^2}{R} $$

(3) 面から離れる条件

\(N = 0\) とおき、\(v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)\) を代入すると：

$$ mg\cos\theta = \frac{m \cdot 2gR(1 - \cos\theta)}{R} = 2mg(1 - \cos\theta) $$ $$ \cos\theta = 2 - 2\cos\theta \quad \Rightarrow \quad 3\cos\theta = 2 \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = \frac{2}{3} $$

頂上からの高さの降下量は \(R(1 - 2/3) = R/3\) です。つまり、頂上から高さ \(R/3\) だけ降りたところで面から離れます。

(4) 離れるときの速さ

\(\cos\theta = 2/3\) を \(v^2\) の式に代入すると：

$$ v^2 = 2gR\left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{2gR}{3} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2gR}{3}} $$

補足：初速がある場合

頂上で初速 \(v_0\) がある場合、\(v^2 = v_0^2 + 2gR(1 - \cos\theta)\) となり、離れる角度は：

$$\cos\theta = \frac{2}{3} + \frac{v_0^2}{3gR}$$

初速が大きいほど小さい \(\theta\)（高い位置）で離れます。