設定：半径 \(r = 0.50\) m、速さ \(v = 2.0\) m/s の等速円運動。
立式：周期は「円周の長さ \(\div\) 速さ」で求まります：
$$ T = \frac{2\pi r}{v} $$数値代入：
$$ T = \frac{2\pi \times 0.50}{2.0} = \frac{\pi}{2.0} \fallingdotseq 1.6 \text{ s} $$等速円運動の周期は \(T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi}{\omega}\)。円周の長さを速さで割る、という直感的な理解が大切。
立式：\(v = r\omega\) より \(\omega = v/r\)
数値代入：
$$ \omega = \frac{v}{r} = \frac{2.0}{0.50} = 4.0 \text{ rad/s} $$\(\omega = \dfrac{v}{r}\) または \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\)。角速度は「回転の速さ」を表す基本量。
向き：円の中心Oに向かう向き（向心方向）
立式：向心加速度の公式を用います：
$$ a = \frac{v^2}{r} $$数値代入：
$$ a = \frac{2.0^2}{0.50} = \frac{4.0}{0.50} = 8.0 \text{ m/s}^2 $$等速円運動の加速度（向心加速度）は常に円の中心方向を向く。大きさは \(a = \dfrac{v^2}{r} = r\omega^2\)。
向き：円の中心Oに向かう向き
立式：運動方程式（中心方向）：向心力 \(= ma\)。水平面上では向心力 = 糸の張力 \(S\) なので：
$$ F = ma = 1.0 \times 8.0 = 8.0 \text{ N} $$あるいは \(F = \dfrac{mv^2}{r}\) から直接：
$$ F = \frac{1.0 \times 2.0^2}{0.50} = \frac{4.0}{0.50} = 8.0 \text{ N} $$等速円運動の運動方程式：\(m\dfrac{v^2}{r} = \text{合力}\) または \(mr\omega^2 = \text{合力}\)。中心方向の力の合計が向心力となる。
設定：糸の張力の上限が \(S_{\max} = 18\) N のとき、最大角速度 \(\omega'\) を求める。
立式：水平面上の等速円運動では、張力が向心力を担うので \(S = mr\omega'^2\)。張力の限界値で等号が成立：
$$ S_{\max} = mr\omega'^2 \quad \Rightarrow \quad \omega'^2 = \frac{S_{\max}}{mr} $$数値代入：
$$ \omega'^2 = \frac{18}{1.0 \times 0.50} = 36 \quad \Rightarrow \quad \omega' = 6.0 \text{ rad/s} $$角速度が最大のときの速さは \(v = r\omega' = 0.50 \times 6.0 = 3.0\) m/s です。
向心力は \(F = mr\omega'^2 = 1.0 \times 0.50 \times 36 = 18\) N で、ちょうど糸の張力の限界に等しくなります。
これ以上の角速度にすると、必要な向心力が張力の限界を超え、糸が切れて物体は接線方向に飛んでいきます。
「糸が切れない条件」は \(S \leq S_{\max}\)。向心力の式 \(S = mr\omega^2\) に上限を代入して最大角速度を求める。