設問(1)　回転する観測者から見た運動

考察：おもりとともに回転する観測者から見ると、おもりにはたらく力は：

• 重力 \(mg\)（下向き）
• 糸の張力 \(S\)（糸に沿って上向き）
• 遠心力 \(mr\omega^2\)（中心から外向き）

これら3力がつりあっているので：

設問(2)　円運動の周期

設定：回転半径 \(r = l\sin\theta\)。地上の観測者から見た運動方程式を立てます。

立式：

鉛直方向のつりあい：

$$ S\cos\theta = mg \quad \cdots (1) $$

水平方向（向心方向）の運動方程式：

$$ S\sin\theta = mr\omega^2 \quad \cdots (2) $$

式(2) \(\div\) 式(1) より：

$$ \tan\theta = \frac{r\omega^2}{g} $$

\(r = l\sin\theta\) を代入：

$$ \tan\theta = \frac{l\sin\theta \cdot \omega^2}{g} $$

\(\sin\theta/\cos\theta = l\sin\theta \cdot \omega^2/g\)。両辺の \(\sin\theta\) を消去（\(\theta \neq 0\)）すると：

$$ \frac{1}{\cos\theta} = \frac{l\omega^2}{g} \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{g}{l\cos\theta} $$

\(T = 2\pi/\omega\) より：

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}} $$

別解：遠心力を使う方法（回転する観測者から見た解法）

おもりとともに回転する観測者から見ると、おもりは静止しています。遠心力 \(mr\omega^2\)（外向き）を加えた3力のつりあいを立てます。

水平方向：\(S\sin\theta = mr\omega^2\)（遠心力とつりあう）

鉛直方向：\(S\cos\theta = mg\)

これは静止系で立てた式と同じになり、結果も同じです。

補足：糸の張力 \(S\) の求め方

式(1)より：

$$S = \frac{mg}{\cos\theta}$$

\(\theta > 0\) なので \(\cos\theta < 1\)、つまり \(S > mg\)。円錐振り子の張力は、静止してぶら下げたときの重力より大きくなります。

🧮 数値計算で確認

ばね定数 \(k = 200\) N/m、質量 \(m = 0.50\) kg のばね振り子の場合：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \fallingdotseq 0.31 \text{ s}$$ $$\text{振幅 } A = 0.10 \text{ m のとき } v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 20 = 2.0 \text{ m/s}$$