立式：列車とともに加速する座標系で考えます。小物体には重力 $mg$（下向き）、糸の張力 $T$（糸に沿って上向き）、慣性力 $ma$（後方）がはたらきます。つりあいの条件：
水平方向：
$$T\sin\theta = ma \quad \cdots (1)$$鉛直方向：
$$T\cos\theta = mg \quad \cdots (2)$$(1) $\div$ (2) で $T$ を消去すると：
$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{a}{g} \quad \Rightarrow \quad \tan\theta = \frac{a}{g}$$数値例：$a = 2.0$ m/s²、$g = 9.8$ m/s² のとき：
$$\tan\theta = \frac{2.0}{9.8} = 0.204 \quad \Rightarrow \quad \theta = \arctan(0.204) = 11.5°$$また、張力は (2) より $T = mg/\cos\theta = mg/\cos 11.5° = 1.02\,mg$ で、重力よりわずかに大きくなります。
加速系でのつりあい問題では、慣性力を導入してつりあいの式を立てる。$\tan\theta = \dfrac{(\text{水平方向の力})}{(\text{鉛直方向の力})}$ で傾きが求まる。
立式：みかけの重力加速度の大きさを求めます。重力 $mg$（鉛直下向き）と慣性力 $ma$（水平後方）の合力が「みかけの重力」$mg'$ です。
$$g' = \sqrt{g^2 + a^2}$$$\tan\theta = a/g$ を使うと $a = g\tan\theta$ なので：
$$g' = \sqrt{g^2 + g^2\tan^2\theta} = g\sqrt{1 + \tan^2\theta} = \frac{g}{\cos\theta}$$単振り子の周期の公式 $T = 2\pi\sqrt{l/g_{\text{有効}}}$ で $g$ を $g'$ に置き換えます：
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g/\cos\theta}} = 2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}$$数値例：$l = 1.0$ m、$a = 2.0$ m/s²、$g = 9.8$ m/s² のとき $\theta = 11.5°$、$\cos\theta = 0.980$：
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.0 \times 0.980}{9.8}} = 2\pi\sqrt{0.100} = 2\pi \times 0.316 = 1.99 \text{ s}$$ちなみに静止した列車（$a = 0$）なら $T_0 = 2\pi\sqrt{1.0/9.8} = 2.01$ s です。加速系では $g' > g$ なので周期がわずかに短くなります。
加速度 $a$ の非慣性系において、みかけの重力加速度は：
$$g' = \sqrt{g^2 + a^2}$$$a = g\tan\theta$ を代入すると：
$$g' = \sqrt{g^2 + g^2\tan^2\theta} = g\sqrt{1 + \tan^2\theta} = \frac{g}{\cos\theta}$$エレベーター内（鉛直方向の加速度 $\alpha$）の場合は $g' = g \pm \alpha$（符号は加速方向による）。
加速系での振り子の周期：$g$ をみかけの重力加速度 $g'$ に置き換える。水平加速度 $a$ の場合、$g' = g/\cos\theta$。鉛直加速度 $\alpha$ の場合、$g' = g \pm \alpha$。