立式：静止状態でのつりあい条件（浮力 = 重力）：
$$\text{浮力} = \text{重力}$$ $$\rho \cdot Sh \cdot g = mg$$両辺を $g$ で割ると：
$$m = \rho Sh$$浮力のつりあいから質量を求める。浮力は $F_{\text{浮}} = \rho V_{\text{沈}} g = \rho S h g$（沈んだ体積 $\times$ 液体の密度 $\times g$）。
立式：位置 $x$（下向き正）のとき、物体が液体に沈んでいる深さは $h + x$ です。
重力（下向き）：$mg = \rho Shg$
浮力（上向き）：$\rho S(h + x)g$
合力（下向き正）：
$$F = mg - \rho S(h + x)g = \rho Shg - \rho S(h + x)g$$ $$= \rho Shg - \rho Shg - \rho Sxg$$ $$= -\rho Sg \cdot x$$これは $F = -Kx$ の形（$K = \rho Sg$）であり、つりあい位置からの変位に比例する復元力です。
$F = -(\text{正の定数}) \times x$ の形が得られたら単振動が確定。復元力定数 $K = \rho Sg$ の役割を浮力が果たしている。
立式：運動方程式 $ma = -\rho Sgx$ より：
$$a = -\frac{\rho Sg}{m}\,x$$$a = -\omega^2 x$ と比較して：
$$\omega^2 = \frac{\rho Sg}{m}$$$m = \rho Sh$ を代入すると：
$$\omega^2 = \frac{\rho Sg}{\rho Sh} = \frac{g}{h}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$$よって周期は：
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$$浮力による単振動の周期は $T = 2\pi\sqrt{h/g}$。密度 $\rho$ や断面積 $S$ に依存しない。ばね振り子の $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ で $k = \rho Sg$, $m = \rho Sh$ とした結果。
立式：単振動の最大速度の公式 $v_{\max} = A\omega$ を用います。
振幅 $A = d$（沈めた距離）、$\omega = \sqrt{g/h}$（設問(3)の結果）より：
$$v_0 = A\omega = d \times \sqrt{\frac{g}{h}} = d\sqrt{\frac{g}{h}}$$復元力定数 $K = \rho Sg$ を使って：
$$\frac{1}{2}Kd^2 = \frac{1}{2}mv_0^2$$ $$v_0 = d\sqrt{\frac{K}{m}} = d\sqrt{\frac{\rho Sg}{\rho Sh}} = d\sqrt{\frac{g}{h}}$$単振動の最大速度 $v_{\max} = A\omega$。$A$ は振幅、$\omega$ は角振動数。エネルギー保存則 $\frac{1}{2}KA^2 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ からも同じ結果が得られる。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
液体密度 \(\rho = 1.0\times 10^3\) kg/m\(^3\), 物体断面積 \(S = 1.0\times 10^{-3}\) m\(^2\), \(m = 0.50\) kg, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:
$$k_{eff} = \rho S g = 1.0\times 10^3 \times 1.0\times 10^{-3} \times 9.8 = 9.8 \text{ N/m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.50}} \fallingdotseq 4.43 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} \fallingdotseq 1.42 \text{ s}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。