立式：$x = 0$ から $x = L$ まで自由落下するので、エネルギー保存則より：
$$\frac{1}{2}mv_L^2 = mgL$$ $$v_L^2 = 2gL \quad \therefore \; v_L = \sqrt{2gL}$$数値例：$g = 9.8$ m/s², $L = 2.0$ m のとき：
$$v_L = \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.0} = \sqrt{39.2} \fallingdotseq 6.3 \text{ m/s}$$ゴムひもが自然長のとき（$x = L$）までは自由落下。エネルギー保存則 $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ で速さを求める。
$x_1$ の導出：$x > L$ で、ゴムひもの張力 $k(x_1 - L)$ が重力 $mg$ と等しくなる条件：
$$k(x_1 - L) = mg \quad \therefore \; x_1 = L + \frac{mg}{k}$$$v_1$ の導出：$x = 0$（$v = 0$）から $x = x_1$ までのエネルギー保存則：
$$mgx_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}k(x_1 - L)^2$$$x_1 = L + mg/k$ を代入すると $(x_1 - L) = mg/k$ なので：
$$mg\!\left(L + \frac{mg}{k}\right) = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}k\!\left(\frac{mg}{k}\right)^{\!2}$$ $$mgL + \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{m^2g^2}{2k}$$ $$\frac{1}{2}mv_1^2 = mgL + \frac{m^2g^2}{2k} \quad \therefore \; v_1 = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$$数値例：$m = 1.0$ kg, $g = 9.8$ m/s², $L = 2.0$ m, $k = 50$ N/m のとき：
$$x_1 = 2.0 + \frac{1.0 \times 9.8}{50} = 2.0 + 0.196 = 2.196 \text{ m}$$ $$v_1 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.0 + \frac{1.0 \times 9.8^2}{50}} = \sqrt{39.2 + 1.92} = \sqrt{41.1} \fallingdotseq 6.4 \text{ m/s}$$合力がゼロとなる位置（つりあい位置）が単振動の中心であり、ここで速さが最大になる。エネルギー保存則で速さを求めるとき、弾性エネルギーの基準点に注意する。
立式：$x = 0$（$v = 0$）から $x = x_2$（$v = 0$）までのエネルギー保存則：
$$mgx_2 = \frac{1}{2}k(x_2 - L)^2$$展開して整理します。$X = x_2 - L$ とおくと $x_2 = X + L$ なので：
$$mg(X + L) = \frac{1}{2}kX^2$$ $$kX^2 - 2mgX - 2mgL = 0$$解の公式より（$X > 0$ の解を選ぶ）：
$$X = \frac{2mg + \sqrt{4m^2g^2 + 8mkgL}}{2k} = \frac{mg}{k} + \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgL}{k}}$$ $$\therefore \; x_2 = L + \frac{mg}{k} + \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgL}{k}}$$数値例：$m = 1.0$ kg, $g = 9.8$ m/s², $L = 2.0$ m, $k = 50$ N/m のとき：
$$\frac{mg}{k} = \frac{1.0 \times 9.8}{50} = 0.196 \text{ m}$$ $$x_2 = 2.0 + 0.196 + \sqrt{0.196^2 + \frac{2 \times 1.0 \times 9.8 \times 2.0}{50}} = 2.196 + \sqrt{0.0384 + 0.784}$$ $$= 2.196 + \sqrt{0.822} = 2.196 + 0.907 \fallingdotseq 3.10 \text{ m}$$$x > L$ の領域では $x_1$ を中心とした単振動です。$x_1$ での速さ $v_1$ と振幅 $A'$ の関係：
$$v_1 = A'\omega, \quad \omega = \sqrt{k/m}$$ $$A' = \frac{v_1}{\omega} = v_1\sqrt{\frac{m}{k}}$$最下点は $x_2 = x_1 + A'$ です。ただし、この問題ではゴムひもが $x < L$ で力を及ぼさないため、上端は $x_1 - A'$ ではなく $x = L$ より上に行く場合は自由落下に切り替わる点に注意が必要です。
最下点では速度がゼロ。始点と最下点の両方で $v = 0$ なので、両端でのエネルギー保存則から最下点を求められる。2次方程式の $x > L$ の解を選ぶ。
立式：$x > L$ の領域で $x_1$ を中心とした単振動の角振動数は：
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$周期は $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ です。$x_1$ を初めて通過（下向き）してから、最下点 $x_2$ を経て $x_1$ に戻るまでの時間は半周期にあたります：
$$\Delta t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$数値例：$m = 1.0$ kg, $k = 50$ N/m のとき：
$$\Delta t = \pi\sqrt{\frac{1.0}{50}} = \pi \times 0.141 \fallingdotseq 0.44 \text{ s}$$ゴムひもの問題では、弾性力がはたらく領域でのみ単振動する。振動の中心を通過してから戻るまでは半周期 $T/2$。ゴムひもが緩む領域では自由落下になり、全体の運動は単振動ではない。