加速度：つりあい条件より、ばねの自然長からの伸び $x_0$ で板＋おもりが静止するので：
$$kx_0 = (M + m)g \quad \therefore \; k = \frac{(M + m)g}{x_0}$$つりあいの位置からの変位を $x$（上向き正）とすると、一体（質量 $M + m$）の運動方程式は：
$$(M + m)a = -kx = -\frac{(M + m)g}{x_0}\,x$$ $$\therefore \; a = -\frac{g}{x_0}\,x$$垂直抗力：おもり（$m$）の運動方程式（上向き正）：
$$ma = N - mg$$$a = -gx/x_0$ を代入すると：
$$N = m(g + a) = m\!\left(g - \frac{g}{x_0}x\right) = mg\!\left(1 - \frac{x}{x_0}\right)$$板の上のおもりの垂直抗力は $N = m(g + a)$。上向き加速度 $a$ が大きいほど $N$ は小さくなり、$a = g$（上向き）で $N = 0$ となる。
離れる位置：$N = 0$ のとき $mg(1 - x/x_0) = 0$ より：
$$1 - \frac{x_1}{x_0} = 0 \quad \therefore \; x_1 = x_0$$速さ $v_1$：振幅 $A = 2x_0$（自然長の位置から $2x_0$ 引いて離すため）、$\omega^2 = g/x_0$ より、位置 $x = x_0$ でのエネルギー保存則を使います。端（$x = 2x_0$, $v = 0$）から $x = x_0$ まで：
$$\frac{1}{2}(M+m)v_1^2 = \frac{1}{2}(M+m)\omega^2(A^2 - x_1^2)$$ $$v_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2) = \frac{g}{x_0}\!\left((2x_0)^2 - x_0^2\right) = \frac{g}{x_0} \times 3x_0^2 = 3gx_0$$ $$\therefore \; v_1 = \sqrt{3gx_0}$$物体が板から離れる条件は $N = 0$。離れる位置と速さはそれぞれ $N = 0$ の条件とエネルギー保存則で求まる。
立式：$x = -2x_0\cos\omega t$ で $x = x_0$ となる時刻を求めます。
$$x_0 = -2x_0\cos\omega t_1$$ $$\cos\omega t_1 = -\frac{1}{2}$$ $$\omega t_1 = \frac{2\pi}{3}$$$\omega = \sqrt{g/x_0}$ を代入すると：
$$t_1 = \frac{2\pi}{3\omega} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{x_0}{g}}$$等速円運動の加速度は常に中心を向き、大きさは $a = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$ です。速度の大きさは変わりませんが、方向が変わり続けるため加速度が存在します。
単振動の途中の時間は、$x = A\sin(\omega t + \phi)$ や $x = A\cos(\omega t)$ を立てて、$\sin$ や $\cos$ の値から対応する角度を求める。等速円運動の回転角と対応させて考えるとわかりやすい。