応用問題194 2物体の単振動

運動方程式と角振動数

直感的理解
Bの加速をもたらしているのはAからの摩擦力のみです。Aにはばねの力、床からの摩擦なし（床はなめらか）、Bからの摩擦反作用がはたらきます。全体では復元力 $-kx$ だけが外力で、質量 $(M + m)$ の単振動になります。

物体Bの運動方程式（空欄ア）：Bにはたらく水平方向の力は摩擦力 $f$ のみ：

$$ma = f \quad \cdots (1)$$

物体Aの運動方程式（空欄イ・ウ）：Aにはたらく力はばねの力 $-kx$ と Bとの摩擦反作用 $-f$：

$$Ma = -kx - f \quad \cdots (2)$$

全体の運動方程式（空欄エ）：(1) + (2) より $f$ が消えて：

$$(M + m)a = -kx$$ $$\therefore \quad a = -\frac{k}{M+m}\,x$$

角振動数（空欄オ）：$a = -\omega^2 x$ と比較して：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}}$$

速さの最大値（空欄カ）：振幅を $d$ とすると：

$$v_{\max} = d\omega = d\sqrt{\frac{k}{M+m}}$$

加速度の最大値（空欄キ）：

$$a_{\max} = d\omega^2 = d \times \frac{k}{M+m} = \frac{kd}{M + m}$$
答え：
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{M+m}}, \quad v_{\max} = d\sqrt{\frac{k}{M+m}}, \quad a_{\max} = \frac{kd}{M+m}$$
Point

2物体系の運動方程式を個別と全体の両方で立てる。全体の式で $\omega$ を求め、個別の式で内力（摩擦力）を求める。

空欄ク　一体で動くための静止摩擦係数の条件

直感的理解
BがAの上で滑らないためには、必要な摩擦力が最大静止摩擦力以下でなければなりません。摩擦力が最大になるのは加速度が最大のとき（$x = \pm d$）です。そのとき $|f| = ma_{\max} = \frac{mkd}{M + m}$ が $\mu' mg$ 以下であれば滑りません。

立式：式(1)より、Bに必要な摩擦力は $f = ma$。加速度が最大（$|a| = a_{\max} = \dfrac{kd}{M+m}$）のとき、必要な摩擦力も最大：

$$|f|_{\max} = m \cdot a_{\max} = \frac{mkd}{M+m}$$

滑らない条件は、最大静止摩擦力 $\mu' mg$ がこの力以上であること：

$$\frac{mkd}{M+m} \le \mu' mg$$

両辺を $mg$ で割ると：

$$\mu' \ge \frac{kd}{(M+m)g}$$
答え（空欄ク）：
$$\mu' \ge \frac{kd}{(M+m)g}$$
補足：単振動のエネルギー保存

単振動では運動エネルギーと弾性エネルギーの和が一定に保たれます。

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$
Point

滑らない条件：加速度最大の瞬間に必要な摩擦力が最大静止摩擦力以下。$ma_{\max} \le \mu' mg$ で摩擦係数の条件が出る。振幅 $d$ が大きいほど滑りやすい。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(m_1 = 1.0\) kg, \(m_2 = 2.0\) kg, ばね定数 \(k = 50\) N/m とする。換算質量 \(\mu\):

$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1.0\times 2.0}{3.0} \fallingdotseq 0.667 \text{ kg}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{50}{0.667}} \fallingdotseq 8.66 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} \fallingdotseq 0.73 \text{ s}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。