立式：$x > 0$ から左に動くとき、動摩擦力は右向き（$+\mu' mg$）にはたらくので、運動方程式は：
$$ma = -kx + \mu' mg$$これを変形すると：
$$ma = -k\!\left(x - \frac{\mu' mg}{k}\right)$$ここで $d = \dfrac{\mu' mg}{k}$ とおくと、振動中心が $x = +d$ にシフトした単振動です（左向き運動では中心は $x = -d$）。$d$ について解くと：
$$\mu' = \frac{kd}{mg}$$数値例：$k = 20$ N/m, $m = 1.0$ kg, $g = 9.8$ m/s², $\mu' = 0.20$ のとき：
$$d = \frac{\mu' mg}{k} = \frac{0.20 \times 1.0 \times 9.8}{20} = \frac{1.96}{20} = 0.098 \text{ m} \fallingdotseq 9.8 \text{ cm}$$動摩擦力がある場合、振動中心が $\pm d = \pm \mu' mg / k$ だけシフトする。各半周期は、シフトした中心まわりの単振動として扱える。
速さ最大の位置：左向き運動の振動中心は $x = -d$ です。単振動で速さが最大になるのは振動中心を通過するとき。よって：
$$x_n = -d$$最大速さ：振幅は $|x_0 - (-d)| = x_0 + d$ なので、$v_{\max} = A\omega$（$A$: 振幅, $\omega = \sqrt{k/m}$）より：
$$v_n = (x_0 + d)\sqrt{\frac{k}{m}}$$数値例：$x_0 = 2.5d = 2.5 \times 0.098 = 0.245$ m, $d = 0.098$ m, $k = 20$ N/m, $m = 1.0$ kg のとき：
$$x_n = -0.098 \text{ m}$$ $$v_n = (0.245 + 0.098)\sqrt{\frac{20}{1.0}} = 0.343 \times 4.47 \fallingdotseq 1.53 \text{ m/s}$$$x = x_0$ から $x = -d$ までのエネルギー保存則：
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_n^2 + \frac{1}{2}kd^2 + \mu' mg(x_0 + d)$$$\mu' mg = kd$ を使うと：
$$\frac{1}{2}k(x_0^2 - d^2) = \frac{1}{2}mv_n^2 + kd(x_0 + d)$$ $$\frac{1}{2}k(x_0 + d)(x_0 - d) = \frac{1}{2}mv_n^2 + kd(x_0 + d)$$ $$\frac{1}{2}mv_n^2 = \frac{1}{2}k(x_0 + d)(x_0 - d) - kd(x_0 + d) = \frac{1}{2}k(x_0 + d)(x_0 - 3d)$$ここで注意：この別解は $x_0 > 3d$ の場合に一致します。一般には振動中心からの振幅を使う方法が簡便です。
摩擦付き振動では、振動中心が運動方向によって $\pm d$ にシフトする。速さ最大はシフトした振動中心を通るとき。
立式：初期位置 $x_0$ での弾性エネルギーから停止位置 $x_n$ での弾性エネルギーを引いた分が、動摩擦力のした仕事（$\mu' mg L$）に等しい：
$$\frac{1}{2}kx_0^2 - \frac{1}{2}kx_n^2 = \mu' mg L$$ $$L = \frac{k(x_0^2 - x_n^2)}{2\mu' mg}$$$\mu' mg = kd$ を代入すると $L = \dfrac{x_0^2 - x_n^2}{2d}$ とも書けます。
数値例：$x_0 = 0.245$ m, $x_n = 0.098$ m（$d$ 付近で停止すると仮定）, $k = 20$ N/m, $\mu' mg = 1.96$ N のとき：
$$L = \frac{20 \times (0.245^2 - 0.098^2)}{2 \times 1.96} = \frac{20 \times (0.0600 - 0.0096)}{3.92} = \frac{20 \times 0.0504}{3.92} \fallingdotseq 0.257 \text{ m}$$摩擦による減衰振動のエネルギー収支：$\frac{1}{2}k(x_0^2 - x_n^2) = \mu' mg L$。弾性エネルギーの差が摩擦の仕事に等しい。
立式：$x_1 = -\dfrac{5}{2}d$ から右に動きます。右向き運動では動摩擦力は左向きなので、振動中心は $x = +d$ です。
$x_1$（$v = 0$）から折り返し点 $x_2$（$v = 0$）までのエネルギー保存則：
$$\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2 + \mu' mg\,|x_2 - x_1|$$$x_1 = -\dfrac{5}{2}d$, $x_2 > x_1$（右方向）なので $|x_2 - x_1| = x_2 + \dfrac{5}{2}d$。$\mu' mg = kd$ を代入すると：
$$\frac{1}{2}k\!\left(\frac{5d}{2}\right)^{\!2} = \frac{1}{2}kx_2^2 + kd\!\left(x_2 + \frac{5d}{2}\right)$$ $$\frac{25d^2}{8} = \frac{x_2^2}{2} + dx_2 + \frac{5d^2}{2}$$両辺を整理（$\times 8$）：
$$25d^2 = 4x_2^2 + 8dx_2 + 20d^2$$ $$4x_2^2 + 8dx_2 - 5d^2 = 0$$解の公式より：
$$x_2 = \frac{-8d \pm \sqrt{64d^2 + 80d^2}}{8} = \frac{-8d \pm 12d}{8}$$$x_2 > x_1$ の解を取ると：
$$x_2 = \frac{-8d + 12d}{8} = \frac{4d}{8} = \frac{d}{2}$$各半周期で、折り返し点は次の規則に従います：
つまり、摩擦のために各半周期で振幅が $2d$ ずつ減少します。$|x| \le d$ になると復元力が摩擦力に勝てなくなり、物体は停止します。
摩擦付き振動の折り返し点はエネルギー保存則（摩擦の仕事を含む）で求める。各半周期で振幅は $2d = 2\mu' mg/k$ ずつ減少し、$|x| \le d$ で停止する。