直感的理解

$x = A\sin\omega t$ の式から、係数を読み取るだけで振幅・角振動数・周期が分かります。$\sin$ の前の係数が振幅、$t$ の前の係数が角振動数です。

$x = A\sin\omega t$ と比較：

与えられた式 $x = 4.0\sin 0.50\pi t$ から、振幅 $A = 4.0$ m、角振動数 $\omega = 0.50\pi$ rad/s を読み取ります。

(1) 速度 $v$、加速度 $a$ を $t$ を用いて表す：

速度は変位を時間で微分します：

$$v = \frac{dx}{dt} = A\omega\cos\omega t = 4.0 \times 0.50\pi \cos 0.50\pi t = 2.0\pi\cos 0.50\pi t \text{ [m/s]}$$

加速度は速度をさらに微分します：

$$a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\sin\omega t = -4.0 \times (0.50\pi)^2 \sin 0.50\pi t = -\pi^2\sin 0.50\pi t \text{ [m/s}^2\text{]}$$

(2) 速度が正の向きに最大になるときの変位 $x_1$、加速度 $a_1$：

$v = 2.0\pi\cos 0.50\pi t$ が正の最大値をとるのは $\cos 0.50\pi t = 1$ のとき（$0.50\pi t = 0, 2\pi, \ldots$）。このとき $\sin 0.50\pi t = 0$ なので：

$$x_1 = 4.0\sin 0.50\pi t = 4.0 \times 0 = 0 \text{ m}$$ $$a_1 = -\pi^2\sin 0.50\pi t = -\pi^2 \times 0 = 0 \text{ m/s}^2$$

(3) 加速度が正の向きに最大になるときの変位 $x_2$、速度 $v_2$：

$a = -\pi^2\sin 0.50\pi t$ が正の最大値をとるのは $\sin 0.50\pi t = -1$ のとき。このとき $\cos 0.50\pi t = 0$ なので：

$$x_2 = 4.0 \times (-1) = -4.0 \text{ m}$$ $$v_2 = 2.0\pi \times 0 = 0 \text{ m/s}$$

振動の端（$x = -A$）では速度はゼロになります。

答え：
(1) $v = 2.0\pi\cos 0.50\pi t$ [m/s]、$a = -\pi^2\sin 0.50\pi t$ [m/s$^2$]
(2) $x_1 = 0$ m、$a_1 = 0$ m/s$^2$
(3) $x_2 = -4.0$ m、$v_2 = 0$ m/s

Point

$x = A\sin\omega t$ を微分すると $v = A\omega\cos\omega t$、さらに微分すると $a = -A\omega^2\sin\omega t = -\omega^2 x$。速度最大の瞬間は振動中心（$x=0$）、加速度最大の瞬間は両端（$|x|=A$）。

💡 補足：波の基本量の関係

波の速さ $v$、振動数 $f$、波長 $\lambda$ の間には $v = f\lambda$ の関係があります。振動数は媒質が変わっても一定ですが、波の速さと波長は媒質によって変化します。

基本問題178 単振動の周期