合力と周期の導出

(1) つりあいの位置（O）から変位 $x$ のとき：

ばね A, B はともに自然の長さの位置がつりあいの位置なので、変位 $x$（右向きを正）のとき：

• ばね A（左）：$x$ だけ伸びるので力 $-k_1 x$（左向き）
• ばね B（右）：$x$ だけ縮むので力 $-k_2 x$（左向き）

合力は：

$$F = -k_1 x + (-k_2 x) = -(k_1 + k_2)x$$

運動方程式 $F = ma$ より加速度は：

$$a = \frac{F}{m} = -\frac{k_1 + k_2}{m}\,x$$

(2) 加速度の大きさが最大になる位置：

$|a| = \dfrac{k_1+k_2}{m}|x|$ なので、$|x|$ が最大のとき加速度も最大になります。つまり初期変位 $x_0$ の位置（両端）で加速度の大きさは最大値：

$$|a|_{\max} = \frac{k_1 + k_2}{m}\,x_0$$

(3) 周期：

$a = -\omega^2 x$ と比較して $\omega^2 = \dfrac{k_1 + k_2}{m}$ です。したがって：

$$\omega = \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$$

2本のばねの合成ばね定数は $k_1 + k_2$ となり、1本のばねとして扱えます。

💡 補足：次元解析による検算

計算結果の単位が正しいか確認する習慣をつけましょう。速度なら [m/s]、加速度なら [m/s²] になるはずです。数式の両辺で単位が一致するか（次元解析）を確認すると、立式ミスを防げます。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

ばね定数 \(k_1 = 20\) N/m, \(k_2 = 30\) N/m, \(m = 0.50\) kg とする (両端固定で直列結合):

$$k = k_1 + k_2 = 20 + 30 = 50 \text{ N/m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.50}} = 10 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} \fallingdotseq 0.628 \text{ s}$$