振幅の決定

設定：ばね定数 $k$ のばねを水平面上に固定、質量 $m$ のおもりをつけ、自然長の位置で速さ $v_0$ を与える。

振幅 $A$ の決定（エネルギー保存）：

つりあいの位置（自然長）で運動エネルギーは最大、弾性エネルギーは 0。振幅の端で速度 0、弾性エネルギーが最大です。エネルギー保存則より：

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

$A$ について解くと：

$$A^2 = \frac{m}{k}v_0^2 \quad \therefore \; A = v_0\sqrt{\frac{m}{k}}$$

角振動数と周期：

復元力は $F = -kx$ なので、運動方程式 $ma = -kx$ より：

$$\omega^2 = \frac{k}{m} \quad \therefore \; \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

最大加速度：

$a_{\max} = A\omega^2$ に $A = v_0\sqrt{m/k}$ と $\omega^2 = k/m$ を代入すると：

$$a_{\max} = v_0\sqrt{\frac{m}{k}} \times \frac{k}{m} = v_0 \times \frac{1}{\sqrt{m/k}} = v_0\sqrt{\frac{k}{m}}$$

別解：$v_{\max} = A\omega$ から振幅を求める

つりあいの位置での速さは最大速度なので $v_0 = v_{\max} = A\omega$：

$$A = \frac{v_0}{\omega} = \frac{v_0}{\sqrt{k/m}} = v_0\sqrt{\frac{m}{k}}$$

エネルギー保存と同じ結果が得られます。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(m = 0.20\) kg, \(k = 8.0\) N/m, 振幅 \(A = 0.10\) m とする:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{8.0}{0.20}} = \sqrt{40} \fallingdotseq 6.32 \text{ rad/s}$$ $$v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 6.32 = 0.632 \text{ m/s}$$ $$a_{\max} = A\omega^2 = 0.10 \times 40 = 4.0 \text{ m/s}^2$$