鉛直ばね振り子の運動

設定：ばね定数 $k$ [N/m] のばねを天井から下げ、質量 $m$ [kg] のおもりをつける。つりあいの位置を原点 O、上向きを正。自然の長さの位置で静かに離す。

つりあいの伸び $y_0$：つりあい条件 $ky_0 = mg$ より：

$$y_0 = \frac{mg}{k}$$

振幅 $A$：自然長の位置からつりあいの位置までの距離が振幅なので $A = y_0 = \dfrac{mg}{k}$

周期：つりあい位置まわりの単振動なので $T = 2\pi\sqrt{m/k}$（水平の場合と同じ）。

最大速度（つりあいの位置で）：$v_{\max} = A\omega = \dfrac{mg}{k}\sqrt{\dfrac{k}{m}} = g\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

最大加速度（端で）：$a_{\max} = A\omega^2 = \dfrac{mg}{k} \cdot \dfrac{k}{m} = g$

数値例：$k = 20$ N/m, $m = 0.50$ kg, $g = 9.8$ m/s² のとき：

$$y_0 = A = \frac{0.50 \times 9.8}{20} = \frac{4.9}{20} = 0.245 \text{ m}$$ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.50}{20}} = 2\pi\sqrt{0.025} = 2\pi \times 0.158 \fallingdotseq 0.993 \text{ s}$$ $$v_{\max} = 9.8\sqrt{\frac{0.50}{20}} = 9.8 \times 0.158 \fallingdotseq 1.55 \text{ m/s}$$ $$a_{\max} = g = 9.8 \text{ m/s}^2$$

補足：最大加速度が $g$ になる理由

自然長の位置（上端）では、ばねの力は 0 で重力 $mg$ だけが下向きに作用するので：

$$a = \frac{mg}{m} = g$$

一方、下端（$x = -A$）では、ばねの伸びは $y_0 + A = 2y_0 = 2mg/k$ なので：

$$F = k \cdot 2y_0 - mg = 2mg - mg = mg \quad (\text{上向き})$$ $$a = g \quad (\text{上向き})$$

どちらの端でも加速度の大きさは $g$ です。

別解：エネルギー保存で最大速度を確認

自然長の位置から下向きに $y_0$ 落ちたとき（つりあいの位置）：

$$mgy_0 = \frac{1}{2}k y_0^2 + \frac{1}{2}mv_{\max}^2$$

$ky_0 = mg$ より $\frac{1}{2}ky_0^2 = \frac{1}{2}mgy_0$ なので：

$$\frac{1}{2}mgy_0 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$$ $$v_{\max} = \sqrt{gy_0} = \sqrt{g \cdot \frac{mg}{k}} = g\sqrt{\frac{m}{k}}$$