単振り子の運動解析

設定：長さ $l$ の糸に質量 $m$ の小球をつけた単振り子。振れ角は十分小さい。

復元力の導出：

角度 $\theta$ のとき、重力の接線方向成分（中心向き）が復元力です：

$$F = -mg\sin\theta$$

微小角近似 $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ を使います。円弧の変位 $x$ と角度の関係は $\theta \fallingdotseq x/l$（$x$：振動中心からの変位）なので：

$$F = -mg \cdot \frac{x}{l} = -\frac{mg}{l}\,x$$

これは $F = -Kx$ の形（$K = mg/l$）であり、単振動の復元力です。

運動方程式：

$F = ma$ に代入すると：

$$ma = -\frac{mg}{l}\,x \quad \therefore \; a = -\frac{g}{l}\,x$$

角振動数と周期：

$a = -\omega^2 x$ と比較して $\omega^2 = g/l$ です。したがって：

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

質量 $m$ が消えるため、周期は質量にも振幅にもよりません（等時性）。

糸の張力（最下点）：

最下点では円運動の向心力が必要です。向心方向（上向き）の運動方程式は：

$$S - mg = \frac{mv_{\max}^2}{l}$$ $$\therefore \; S = mg + \frac{mv_{\max}^2}{l}$$

補足：ばね振り子との対比

	ばね振り子	単振り子
復元力	$-kx$	$-\frac{mg}{l}x$
「$k$」に相当	$k$	$\frac{mg}{l}$
周期	$2\pi\sqrt{m/k}$	$2\pi\sqrt{l/g}$
質量依存	あり（$\sqrt{m}$ に比例）	なし

補足：等時性の限界

$T = 2\pi\sqrt{l/g}$ は $\sin\theta \fallingdotseq \theta$ が成り立つ小さな角度（$\theta_0 \lesssim 10°$）でのみ正確です。大きな角度では：

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1 + \frac{1}{4}\sin^2\frac{\theta_0}{2} + \cdots\right)$$

例えば $\theta_0 = 30°$ では約 1.7% 大きくなります。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

単振り子: \(l = 0.50\) m, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする:

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9.8}{0.50}} \fallingdotseq 4.43 \text{ rad/s}$$ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{0.051} \fallingdotseq 1.42 \text{ s}$$ $$f = \frac{1}{T} \fallingdotseq 0.705 \text{ Hz}$$