単振り子の周期と力

設定：長さ $l$ の糸に小球をつけた単振り子。振れ角は十分小さい。重力加速度 $g$。

周期の公式：

単振り子の復元力は $F = -\dfrac{mg}{l}x$ なので、$\omega^2 = g/l$ より：

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

例題：$l = 1.0$ m のとき

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1.0}{9.8}} = 2\pi\sqrt{0.102} = 2\pi \times 0.319 \fallingdotseq 2.0 \text{ s}$$

糸の長さを $n$ 倍にすると周期は $\sqrt{n}$ 倍：

長さを $l' = nl$ にすると：

$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{nl}{g}} = \sqrt{n} \times 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{n}\,T$$

$g$ の決定（周期の測定から）：

$T = 2\pi\sqrt{l/g}$ の両辺を2乗して $g$ について解くと：

$$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \quad \therefore \; g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$$

周期 $T$ と長さ $l$ を測定すれば重力加速度を実験で求められます。

往復回数 $N$ 回の時間（$\Delta t$）から周期を求める：

$$T = \frac{\Delta t}{N}$$

$N$ 回分を計測してから割ることで、1回分の測定誤差を $1/N$ に抑えられます。

補足：秒振り子

周期がちょうど $T = 2.0$ s（片道1秒）の振り子を秒振り子といいます。

$$2.0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{9.8}}$$ $$l = \frac{9.8 \times 4.0}{4\pi^2} = \frac{39.2}{39.48} \fallingdotseq 0.993 \text{ m} \fallingdotseq 1.0 \text{ m}$$

つまり約 1 m の振り子が秒振り子になります。

補足：エレベーター内の振り子

加速度 $a$ で上昇するエレベーター内では、見かけの重力加速度が $g' = g + a$ になるので：

$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + a}} < T$$

上昇加速中は周期が短くなり（速く振動）、下降加速中は $g' = g - a$ で周期が長くなります。

別解：ばね定数の類推で周期を導く

単振り子の復元力は $F = -\frac{mg}{l}x$ なので、「ばね定数」に相当するのは：

$$K = \frac{mg}{l}$$

ばね振り子の周期 $T = 2\pi\sqrt{m/K}$ に代入：

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

質量 $m$ がキャンセルされ、質量によらないことがわかります。