立式：つりあいの条件より：
求解：
鉛直ばね振り子では、つりあいの条件 $kl_0 = mg$ からばね定数を求める。つりあいの位置が振動中心になることを押さえておく。
立式：つりあいの位置を原点として変位 $x$ のとき、ばねの伸びは $l_0 + x$ です。運動方程式は：
つりあいの条件 $mg = kl_0$ より：
よって：
鉛直ばね振り子でも、つりあい位置からの変位 $x$ に対して $ma = -kx$ が成立する。重力はつりあい位置を自然長からシフトさせるだけで、振動の運動方程式は水平の場合と同じ形になる。
立式：$a = -\omega^2 x$ と $a = -\dfrac{g}{l_0}x$ を比較して：
運動方程式を $a = -(\text{正の定数}) \times x$ の形に変形し、$x$ の係数を $\omega^2$ と比較するのが単振動の角振動数を求める定石。$\omega = \sqrt{K/m}$（$K$は復元力定数）。
時刻 $t_1$：小球は $x = -l_0$（自然長の位置）からスタートし、振幅 $A = l_0$ の単振動をします。
$x = 0$ となるのは：
速さ $v_1$：点 O は振動の中心なので速さは最大値です。
自然長の位置（$x = -l_0$）での力学的エネルギーを基準にします。ばねの弾性力による位置エネルギーのみ考えると：
$$\frac{1}{2}kl_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2$$ただし $k = mg/l_0$ なので：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{mg}{l_0} \cdot l_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2$$ $$gl_0 = v_1^2 \quad \Longrightarrow \quad v_1 = \sqrt{gl_0}$$単振動で「端から中心まで」の時間は $T/4$。中心を通るときの速さは最大値 $v_{\max} = A\omega$。途中の時間や速さを求めるには等速円運動との対応（位相）を使う。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
鉛直ばね振り子: \(m = 0.20\) kg, \(k = 50\) N/m, \(g = 9.8\) m/s\(^2\) とする。釣り合いの位置:
$$x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{0.20 \times 9.8}{50} = 0.0392 \text{ m}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.20}} \fallingdotseq 15.8 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} \fallingdotseq 0.398 \text{ s}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。