応用問題206 緯度と重力加速度

設問(1)　遠心力 \(F'\) の大きさ

直感的理解
地球は自転しているので、地上の物体は自転軸からの距離 \(R\cos\theta\) を半径とする円運動をしています。赤道（\(\theta = 0\)）では自転半径が最大で遠心力も最大、北極（\(\theta = 90°\)）では自転半径が0なので遠心力はゼロです。

自転半径：緯度 \(\theta\) の地点Pでの自転半径（地軸からの距離）は \(R\cos\theta\) です。

遠心力の大きさ：

答え：
$$F' = mR\omega^2\cos\theta$$
Point

緯度 \(\theta\) における遠心力の大きさは \(mR\omega^2\cos\theta\)。遠心力の方向は地軸から垂直に離れる向き（水平方向ではない）。

設問(2)　万有引力 \(F\) の大きさ

直感的理解
万有引力は地球の中心と物体の間の距離のみで決まります。地球を半径 \(R\) の球とみなすので、地表上ならどの緯度でも中心からの距離は \(R\) で同じです。したがって万有引力の大きさは緯度によらず一定です。

地球を均質な球とみなすと、地表上（距離 \(R\)）の万有引力は：

これは緯度 \(\theta\) によらず一定です。

答え：
$$F = G\frac{Mm}{R^2}$$
Point

地球を球とみなすとき、万有引力の大きさは地球中心からの距離のみで決まり、緯度によらない。地表では常に \(F = GMm/R^2\)。

設問(3)　重力加速度 \(g\)

直感的理解
重力は万有引力から遠心力の動径成分を引いたものです。遠心力の方向は地軸から外向きなので、その「地球中心から離れる成分」（\(\cos\theta\) 成分）だけが重力を弱めます。北極では遠心力がゼロなので重力は万有引力そのもの、赤道では遠心力が最大なので重力が最も弱くなります。

重力の動径成分：遠心力 \(F' = mR\omega^2\cos\theta\) のうち、地球中心から外向き（万有引力と反対向き）の成分は \(F'\cos\theta\) です。

したがって重力の大きさ（動径成分の近似）は：

答え：
$$g = \frac{GM}{R^2} - R\omega^2\cos^2\theta$$
Point

重力加速度 \(g\) は緯度によって変化する。\(g = \dfrac{GM}{R^2} - R\omega^2\cos^2\theta\) なので、赤道で最小、極で最大。

設問(4)　北極と赤道の重力加速度の差

直感的理解
北極では遠心力がゼロ（\(\cos 90° = 0\)）なので \(g_N = GM/R^2\)。赤道では遠心力が最大（\(\cos 0° = 1\)）なので \(g_E = GM/R^2 - R\omega^2\)。その差がちょうど赤道での遠心加速度 \(R\omega^2\) です。

設問(1)の結果 \(g = \dfrac{GM}{R^2} - R\omega^2\cos^2\theta\) に各緯度を代入します。

北極（\(\theta = 90°\)）：\(\cos 90° = 0\) なので遠心力の影響はゼロです。

$$g_N = \frac{GM}{R^2} - R\omega^2 \times 0 = \frac{GM}{R^2}$$

赤道（\(\theta = 0°\)）：\(\cos 0° = 1\) なので遠心力の影響が最大です。

$$g_E = \frac{GM}{R^2} - R\omega^2 \times 1 = \frac{GM}{R^2} - R\omega^2$$

差：

$$\Delta g = g_N - g_E = \frac{GM}{R^2} - \left(\frac{GM}{R^2} - R\omega^2\right) = R\omega^2$$

よって、北極での重力加速度のほうが大きい。

答え：
$$\Delta g = g_N - g_E = R\omega^2$$

北極での重力加速度のほうが大きい。

補足：向心加速度の導出

等速円運動の加速度は常に中心を向き、大きさは $a = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$ です。速度の大きさは変わりませんが、方向が変わり続けるため加速度が存在します。

Point

北極と赤道の重力加速度の差は \(R\omega^2\)。地球では \(R\omega^2 \fallingdotseq 0.034\) m/s\(^2\) で、\(g\) の約1/300。