応用問題207 人工衛星の打ち上げのエネルギー

打ち上げエネルギーの導出

直感的理解
人工衛星を地表から軌道に乗せるには、(1) 位置エネルギーの差（高さを稼ぐ分）と (2) 運動エネルギー（円軌道速度を得る分）の両方が必要です。軌道が高いほど位置エネルギーの差は大きくなりますが、必要な速度は小さくなります。結果として打ち上げエネルギーは \(r \to \infty\) で \(mgR\) に収束します。

地表での力学的エネルギー（静止）：

$$E_{\text{地表}} = 0 + \left(-\frac{GMm}{R}\right) = -\frac{GMm}{R}$$

軌道上での力学的エネルギー：

円軌道の速さ \(v\) は万有引力 = 向心力 \(G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}\) より \(v^2 = \dfrac{GM}{r}\) なので：

$$E_{\text{軌道}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$

打ち上げに必要なエネルギー：

$$E = E_{\text{軌道}} - E_{\text{地表}} = -\frac{GMm}{2r} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2r}\right)$$

\(GM = gR^2\) を代入すると：

$$E = gR^2 m\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2r}\right) = mgR\left(1 - \frac{R}{2r}\right)$$
答え：
$$E = mgR\left(1 - \frac{R}{2r}\right)$$
補足：特殊な場合の確認
  • \(r = R\)（地表すれすれ）: \(E = mgR\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}mgR = \dfrac{1}{2}mv_1^2\)（第一宇宙速度の運動エネルギー）
  • \(r \to \infty\): \(E \to mgR = \dfrac{1}{2}mv_2^2\)（第二宇宙速度の運動エネルギー）
Point

円軌道の衛星の力学的エネルギーは \(E = -\dfrac{GMm}{2r}\)（常に負）。打ち上げエネルギーは軌道上と地表の力学的エネルギーの差で求まる。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

地球質量 \(M = 5.97\times 10^{24}\) kg, 地球半径 \(R = 6.37\times 10^6\) m, \(G = 6.67\times 10^{-11}\) N·m\(^2\)/kg\(^2\), 衛星質量 \(m = 1.0\times 10^3\) kg とする:

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times 5.97\times 10^{24}}{6.37\times 10^6}} \fallingdotseq 7.91\times 10^3 \text{ m/s}$$ $$E_{地表} = -\frac{GMm}{R} = -6.26\times 10^{10} \text{ J}$$ $$\Delta E = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}\times 10^3 \times (7.91\times 10^3)^2 \fallingdotseq 3.13\times 10^{10} \text{ J}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。