半径 \(r\) の球の質量：地球が均質なので、質量は体積に比例します。
万有引力：
\(GM = gR^2\) を使うと：
均質な球体の内部では万有引力は \(r\) に比例する（\(F = mgr/R\)）。中心から離れるほど力が大きくなり、中心では0。これは復元力の形（\(F \propto -x\)）であり、単振動の条件を満たす。
運動方程式：中心Oからの変位を \(x\)（Aの方向を正）とすると、設問(1)の結果より復元力は：
これは角振動数 \(\omega = \sqrt{g/R}\) の単振動です。
周期：
AからBまでの時間は半周期：
数値: \(t = \pi\sqrt{\dfrac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \fallingdotseq 2540\) s \(\fallingdotseq\) 42分
地表すれすれの人工衛星の周期は \(T_{\text{sat}} = 2\pi\sqrt{R/g}\) です。
トンネル列車の往復周期は \(T = 2\pi\sqrt{R/g}\) で、衛星の周期と完全に一致します。
これは偶然ではありません。地球内部の線形重力場（\(F \propto r\)）による単振動と、地表面での円運動は、どちらも同じ角振動数 \(\omega = \sqrt{g/R}\) を持つためです。
地球内部で \(F \propto r\)（復元力）→ 単振動。角振動数 \(\omega = \sqrt{g/R}\)、周期 \(T = 2\pi\sqrt{R/g}\)。AからBまでは半周期 \(\pi\sqrt{R/g} \fallingdotseq 42\) 分。
方法1：単振動の公式
単振動の最大速度は \(v_0 = A\omega\)（\(A\) は振幅）：
方法2：エネルギー保存
A（\(r = R\), \(v = 0\)）とO（\(r = 0\), \(v = v_0\)）でエネルギー保存を立てます。
万有引力 \(F = (mg/R)r\) はバネ定数 \(k = mg/R\) のバネと等価なので、ポテンシャルエネルギーは：
エネルギー保存（Oを基準）：
数値: \(v_0 = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} \fallingdotseq 7.9\) km/s（第一宇宙速度と一致）
地球内部での万有引力ポテンシャルは（表面を基準にせず無限遠基準）：
$$U(r) = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - r^2) \quad (r \leq R)$$地表A（\(r = R\)）と中心O（\(r = 0\)）で保存則：
$$-\frac{GMm}{2R^3}(3R^2 - R^2) + 0 = -\frac{GMm}{2R^3}(3R^2) + \frac{1}{2}mv_0^2$$ $$-\frac{GMm}{R} + 0 = -\frac{3GMm}{2R} + \frac{1}{2}mv_0^2$$ $$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R} = \frac{mgR}{2} \cdot 1$$これを解いて \(v_0 = \sqrt{gR}\)。
地球内部を貫くトンネルでの運動は単振動。中心での最大速度 \(v_0 = \sqrt{gR}\) は第一宇宙速度に等しい。周期は衛星の周期と一致する（\(T = 2\pi\sqrt{R/g}\)）。