基本問題196 ケプラーの法則

ケプラーの第三法則

直感的理解
ケプラーの第三法則は「軌道が大きいほど周期が長くなる」という法則です。半長軸が2倍になると、周期は \(2^{3/2} = 2\sqrt{2}\) 倍になります。遠い惑星ほどゆっくり公転するのは、万有引力が弱くなる上に軌道が長くなるためです。

条件：惑星Aの公転周期を \(T\)、軌道の半長軸を \(a\) とする。惑星Bの軌道の半長軸は \(2a\)。

ケプラーの第三法則：$T^2 \propto a^3$ より

$$\frac{T_B^2}{T_A^2} = \frac{a_B^3}{a_A^3}$$

$a_B = 2a$、$a_A = a$ を代入：

$$\frac{T_B^2}{T^2} = \frac{(2a)^3}{a^3} = \frac{8a^3}{a^3} = 8$$ $$T_B^2 = 8T^2$$ $$T_B = \sqrt{8}\,T = 2\sqrt{2}\,T \fallingdotseq 2.83\,T$$
答え：
$$T_B = 2\sqrt{2}\,T$$
補足：第一宇宙速度の意味

地表すれすれで周回するのに必要な速さが第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{gR} \fallingdotseq 7.9$ km/s です。これより速いと楕円軌道、第二宇宙速度を超えると地球の引力圏を脱出します。

Point

ケプラーの第三法則：\(T^2 \propto a^3\)（同じ中心天体のまわりを公転する天体どうしで成立）。周期の比を求めるときは、\(\dfrac{T_B}{T_A} = \left(\dfrac{a_B}{a_A}\right)^{3/2}\) と変形すると便利。