基本問題197 地球の質量

万有引力と重力から地球の質量を求める

直感的理解
地表の物体には万有引力 \(F = G\dfrac{Mm}{R^2}\) がはたらき、これが重力 \(mg\) と等しい。この関係式から地球の質量 \(M\) が求まります。つまり「重力加速度 \(g\) と地球の半径 \(R\) を知れば、地球の質量がわかる」のです。

条件：

万有引力 = 重力の条件：

$$G\frac{Mm}{R^2} = mg$$

両辺を $m$ で割って $M$ について解く：

$$\frac{GM}{R^2} = g \quad \Rightarrow \quad M = \frac{gR^2}{G}$$

数値計算：

$$M = \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{9.8 \times 4.10 \times 10^{13}}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{4.01 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}} \fallingdotseq 6.0 \times 10^{24} \text{ kg}$$

具体的な計算：$G = 6.67 \times 10^{-11}$ N$\cdot$m$^2$/kg$^2$、$R = 6.37 \times 10^6$ m、$g = 9.8$ m/s$^2$ のとき：

$$F = G\frac{Mm}{r^2}$$ $$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} = 9.8 \text{ m/s}^2$$ $$M = \frac{gR^2}{G}$$
答え：
$$M = 6.0 \times 10^{24} \text{ kg}$$
補足：地上と宇宙での重力加速度

地表からの高さ $h$ での重力加速度は：

$$g_h = g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2$$

高度が上がるほど重力加速度は小さくなります。

Point

重要公式 \(GM = gR^2\)：万有引力と重力の関係から導かれるこの式は、天体の質量計算の基本。表面重力加速度と半径だけで天体の質量が求まる。