高度 h における重力加速度

条件：地球の半径 \(R\)、地表の重力加速度 \(g_0\)、高度 \(h\)。

(1) 高度 \(h\) での重力加速度の式：

地表では万有引力から：

$$g_0 = \frac{GM}{R^2}$$

高度 \(h\) では地球中心からの距離が \(R + h\) になるので：

$$g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$$

比をとると \(GM\) が消去でき：

$$\frac{g'}{g_0} = \frac{R^2}{(R+h)^2} \quad \therefore \; g' = g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2$$

(2) \(h = R\) のとき：

中心距離は \(R + R = 2R\) なので：

$$g' = g_0\left(\frac{R}{2R}\right)^2 = g_0 \times \frac{1}{4} = \frac{g_0}{4}$$

(3) \(h = 2R\) のとき：

中心距離は \(R + 2R = 3R\) なので：

$$g' = g_0\left(\frac{R}{3R}\right)^2 = g_0 \times \frac{1}{9} = \frac{g_0}{9}$$

補足：地上と宇宙での重力加速度

地表からの高さ $h$ での重力加速度は：

$$g_h = g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2$$

高度が上がるほど重力加速度は小さくなります。