直感的理解

地表から離れるほど万有引力は弱くなり、重力加速度も小さくなります。地球の中心からの距離で考えるのがコツ。グラフで見ると、距離の2乗に反比例して急速に減少していく様子がわかります。

質量： 5 kg

条件：地球の半径 $R$、地表の重力加速度 $g_0$、万有引力定数 $G$、地球の質量 $M$。自転の影響は無視。

(1) 地表での万有引力＝重力：

地表（中心距離 $R$）で質量 $m$ の物体にはたらく万有引力は：

$$F = G\frac{Mm}{R^2} = mg_0$$

両辺を $m$ で割ると、地表の重力加速度と万有引力の関係が得られます：

$$g_0 = \frac{GM}{R^2} \quad \therefore \; GM = g_0 R^2$$

(2) 高度 $h$ での重力加速度：

高度 $h$ では中心距離が $R + h$ になるので：

$$g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$$

$GM = g_0 R^2$ を代入すると：

$$g' = \frac{g_0 R^2}{(R+h)^2}$$

$h = R$ のとき：

$$g' = \frac{g_0 R^2}{(2R)^2} = \frac{g_0}{4}$$

質量 $m$ の物体にはたらく重力の大きさ：

$$W = mg' = m \times \frac{g_0}{4} = \frac{mg_0}{4}$$

答え：
(1) $\displaystyle GM = g_0 R^2$

(2) $\displaystyle g' = \frac{g_0 R^2}{(R+h)^2}$

(3) $h = R$ のとき重力の大きさ $\displaystyle W = \frac{mg_0}{4}$

補足：地上と宇宙での重力加速度

地表からの高さ $h$ での重力加速度は：

$$g_h = g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2$$

高度が上がるほど重力加速度は小さくなります。

Point

$GM = gR^2$ の活用：この関係式を使えば、$G$ や $M$ が個別にわからなくても重力加速度の変化を計算できる。高度 $h$ での重力は常に中心距離 $(R+h)$ で考える。

基本問題200 重力の大きさ