静止衛星の軌道半径と速さ

条件：

• 静止衛星の周期 \(T = 24\) h \(= 8.64 \times 10^4\) s
• \(R = 6.4 \times 10^6\) m, \(g = 9.8\) m/s²
• \(GM = gR^2\) を利用

(1) 軌道半径 \(r\) を求める：

万有引力が向心力を与えるので、衛星の質量を \(m\)、角速度を \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) として：

$$\frac{GMm}{r^2} = mr\omega^2 = mr\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$$

\(GM = gR^2\) を代入して \(r\) について解くと：

$$gR^2 = r^3 \cdot \frac{4\pi^2}{T^2} \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$$

数値を代入します（\(g = 9.8\) m/s², \(R = 6.4 \times 10^6\) m, \(T = 8.64 \times 10^4\) s）：

$$r^3 = \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times (8.64 \times 10^4)^2}{4\pi^2}$$ $$= \frac{9.8 \times 4.10 \times 10^{13} \times 7.46 \times 10^9}{39.5} \fallingdotseq 7.58 \times 10^{22} \text{ m}^3$$ $$r = \sqrt[3]{7.58 \times 10^{22}} \fallingdotseq 4.2 \times 10^7 \text{ m} = 4.2 \times 10^4 \text{ km}$$

(2) 地球の半径の何倍か：

$$\frac{r}{R} = \frac{4.2 \times 10^7}{6.4 \times 10^6} \fallingdotseq 6.6$$

よって地球の半径の約 \(6.6\) 倍です。

(3) 衛星の速さ：

円運動の速さは \(v = r\omega = \dfrac{2\pi r}{T}\) より：

$$v = \frac{2\pi \times 4.2 \times 10^7}{8.64 \times 10^4} = \frac{2.64 \times 10^8}{8.64 \times 10^4} \fallingdotseq 3.1 \times 10^3 \text{ m/s}$$

補足：ケプラーの第三法則との関係

$r^3 = \dfrac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$ は、ケプラーの第三法則 $T^2 \propto r^3$ そのものです。周期 $T$ が分かれば軌道半径 $r$ が一意に定まります。

静止衛星の $r \fallingdotseq 42000$ km、$v \fallingdotseq 3.1$ km/s は入試頻出の数値なので覚えておくと便利です。