条件：質量 \(m\) の人工衛星が、質量 \(M\) の地球のまわりを半径 \(r\) の円軌道で公転。地球の半径 \(R\)、地表の重力加速度 \(g\)。
(1) 人工衛星の速さ \(v\)：
万有引力が向心力を提供するので：
$$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$両辺を \(m\) で割り、\(r\) を掛けると：
$$v^2 = \frac{GM}{r}$$ここで地表での万有引力 = 重力より \(GM = gR^2\) を代入すると：
$$v = \sqrt{\frac{gR^2}{r}} = R\sqrt{\frac{g}{r}}$$(2) 運動エネルギー \(K\)：
(1) の結果 \(v^2 = gR^2/r\) を用いて：
$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{gR^2}{r} = \frac{gR^2 m}{2r}$$(3) 万有引力による位置エネルギー \(U\)：
無限遠を基準として、万有引力による位置エネルギーは：
$$U = -\frac{GMm}{r} = -\frac{gR^2 m}{r}$$（\(GM = gR^2\) を使用）
(4) 力学的エネルギー \(E\)：
\(E = K + U\) より：
$$E = \frac{gR^2 m}{2r} + \left(-\frac{gR^2 m}{r}\right) = \frac{gR^2 m}{2r} - \frac{2 \cdot gR^2 m}{2r} = -\frac{gR^2 m}{2r}$$円軌道では常に以下の関係が成り立つ：
$$K = -\frac{U}{2}, \quad E = \frac{U}{2} = -K$$力学的エネルギーが負であることは、衛星が束縛状態にあることを意味します。\(E = 0\) が脱出（無限遠に到達）の境界条件になります。
円軌道のエネルギー公式：\(K = \dfrac{GMm}{2r}\)、\(U = -\dfrac{GMm}{r}\)、\(E = -\dfrac{GMm}{2r}\)。常に \(E = -K = U/2 < 0\)。軌道半径が大きいほどエネルギーは0に近づく（束縛が弱くなる）。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
\(GM = 4.0\times 10^{14}\) m\(^3\)/s\(^2\), 衛星 \(m = 1.0\times 10^3\) kg, 軌道半径 \(r = 7.0\times 10^6\) m とする:
$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{4.0\times 10^{14}}{7.0\times 10^6}} \fallingdotseq 7.56\times 10^3 \text{ m/s}$$ $$E = -\frac{GMm}{2r} = -\frac{4.0\times 10^{14}\times 10^3}{1.4\times 10^7} \fallingdotseq -2.86\times 10^{10} \text{ J}$$ $$K = \frac{1}{2}mv^2 \fallingdotseq 2.86\times 10^{10} \text{ J}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。