地表からの打ち上げと円軌道のエネルギー

条件：質量 \(m\) の人工衛星を地表（半径 \(R\)）から高さ \(h\) の円軌道（半径 \(r = R + h\)）に投入。\(GM = gR^2\)。

(1) 円軌道上での速さ \(v\)：

半径 \(r = R + h\) の円軌道で、万有引力 = 向心力：

$$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{R+h}$$

\(GM = gR^2\) を用いて整理すると：

$$v^2 = \frac{GM}{R+h} = \frac{gR^2}{R+h}$$ $$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}$$

(2) 円軌道上での力学的エネルギー：

運動エネルギーと位置エネルギーの和：

$$E_{\text{orbit}} = \frac{1}{2}mv^2 + \left(-\frac{GMm}{R+h}\right)$$

\(v^2 = gR^2/(R+h)\) を代入すると：

$$E_{\text{orbit}} = \frac{gR^2 m}{2(R+h)} - \frac{gR^2 m}{R+h} = -\frac{gR^2 m}{2(R+h)}$$

(3) 地表から打ち上げるのに必要な最小速度 \(v_0\)：

地表での力学的エネルギー（速度 \(v_0\) で鉛直に打ち上げ）：

$$E_{\text{surface}} = \frac{1}{2}mv_0^2 + \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{gR^2 m}{R} = \frac{1}{2}mv_0^2 - gRm$$

エネルギー保存 \(E_{\text{surface}} = E_{\text{orbit}}\) より：

$$\frac{1}{2}mv_0^2 - gRm = -\frac{gR^2 m}{2(R+h)}$$

両辺を \(m\) で割り、\(v_0^2\) について解くと：

$$\frac{1}{2}v_0^2 = gR - \frac{gR^2}{2(R+h)} = \frac{2gR(R+h) - gR^2}{2(R+h)} = \frac{gR(R + 2h)}{2(R+h)}$$ $$v_0 = \sqrt{\frac{gR(R+2h)}{R+h}}$$

補足：第一宇宙速度との関係

\(h = 0\)（地表すれすれ）のとき：

$$v_0 = \sqrt{\frac{gR \cdot R}{R}} = \sqrt{gR} \fallingdotseq 7.9 \text{ km/s}$$

これが第一宇宙速度です。高度が高いほど打ち上げに必要な速度は大きくなります。