だ円軌道の近地点と遠地点

条件：質量 \(m\) の人工衛星がだ円軌道を描く。地球の中心からの距離は近地点で \(r_1\)、遠地点で \(r_2\)。それぞれの速さを \(v_1\)、\(v_2\) とする。地球の質量 \(M\)、半径 \(R\)、重力加速度 \(g\)。

(1) $v_1$ と $v_2$ の関係（角運動量保存）：

近地点・遠地点では速度と位置ベクトルが垂直なので：

$$mr_1 v_1 = mr_2 v_2 \quad \Rightarrow \quad r_1 v_1 = r_2 v_2$$

(2) 力学的エネルギー保存：

$$\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{r_2}$$

(1) より $v_2 = \dfrac{r_1}{r_2}v_1$ を代入し、$GM = gR^2$ を使うと：

$$\frac{1}{2}v_1^2 - \frac{gR^2}{r_1} = \frac{1}{2}\!\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 v_1^2 - \frac{gR^2}{r_2}$$ $$\frac{1}{2}v_1^2\!\left(1 - \frac{r_1^2}{r_2^2}\right) = gR^2\!\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = gR^2 \cdot \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$$

左辺を整理（$1 - r_1^2/r_2^2 = (r_2^2 - r_1^2)/r_2^2 = (r_2 - r_1)(r_2 + r_1)/r_2^2$）：

$$\frac{v_1^2(r_2 - r_1)(r_1 + r_2)}{2r_2^2} = \frac{gR^2(r_2 - r_1)}{r_1 r_2}$$

$r_2 \neq r_1$ で割ると：

$$v_1^2 = \frac{2gR^2 r_2}{r_1(r_1 + r_2)}$$

補足：円軌道との比較

円軌道（\(r_1 = r_2 = r\)）の場合：

$$v = \sqrt{\frac{2gR^2 \cdot r}{r \cdot 2r}} = \sqrt{\frac{gR^2}{r}}$$

これは円軌道の速さの公式と一致します。だ円軌道の式は円軌道を特殊ケースとして含む一般的な結果です。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

\(r_1 = 6.0\times 10^6\) m, \(r_2 = 1.2\times 10^7\) m, \(GM = 4.0\times 10^{14}\) m\(^3\)/s\(^2\) とする:

$$a = \frac{r_1+r_2}{2} = 9.0\times 10^6 \text{ m}$$ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{(9.0\times 10^6)^3}{4.0\times 10^{14}}} \fallingdotseq 8.48\times 10^3 \text{ s}$$ $$v_1 = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r_1}-\frac{1}{a}\right)} \fallingdotseq 9.43\times 10^3 \text{ m/s}$$